Satz über die Umkehrabbildung/C/Eindimensional/Explizit/Cauchy-Riemann/Bemerkung

Es ist im Allgemeinen schwierig, für eine komplex differenzierbare Abbildung ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f'(P)\neq 0$ eine explizite offene Umgebung ${}P\in U_{1}\subseteq U$, auf der ${}f$ eine biholomorphe Abbildung ${}\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\rightarrow U_{2}$ induziert, anzugeben, und ebenso, die lokale Umkehrabbildung explizit zu beschreiben. Die Ableitung der Umkehrabbildung in ${}f(P)$ ist einfach ${}{\frac {1}{f'(P)}}$. Eine notwendige Bedingung an ${}U_{1}$ ist, dass darin ${}f'$ keine Nullstelle besitzen darf.

Wenn ${}f$ in der Form ${}f=g+h{\mathrm {i} }$ vorliegt und das reelle totale Differential die Form

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)&{\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(Q)&{\frac {\partial h}{\partial y}}(Q)\end{pmatrix}}$

besitzt, wobei die Symmetriebedingungen ${}{\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)={\frac {\partial h}{\partial y}}(Q)$ und ${}{\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)=-{\frac {\partial h}{\partial x}}(Q)$ gemäß Fakt erfüllt sind, so ist die reelle Umkehrmatrix direkt durch

${}{\begin{aligned}\left(Df^{-1}\right)_{f(Q)}&={\frac {1}{{\frac {\partial g}{\partial x}}(Q){\frac {\partial h}{\partial y}}(Q)-{\frac {\partial h}{\partial x}}(Q){\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial h}{\partial y}}(Q)&-{\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)\\-{\frac {\partial h}{\partial x}}(Q)&{\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)\right)}^{2}}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)&-{\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)\\{\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)&{\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

gegeben, die natürlich wieder die Symmetriebedingungen erfüllt. Gesucht ist daher eine Funktion ${}\alpha +\beta {\mathrm {i} }$ mit

${}{\frac {\partial \alpha }{\partial x}}(f(Q))={\frac {1}{{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)\right)}^{2}}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)\,$

und

${}{\frac {\partial \alpha }{\partial y}}(f(Q))=-{\frac {1}{{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}(Q)\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)\right)}^{2}}}\cdot {\frac {\partial g}{\partial y}}(Q)\,$

und entsprechenden Bedingungen an ${}\beta$, doch sind diese schwierig zu bestimmen.