Satz vom primitiven Element/Zwischenkörperversion/Fakt/Beweis

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Beweis

Wenn ein endlicher Körper ist, so ist auch endlich und die Voraussetzung über die endlich vielen Zwischenkörper ist automatisch erfüllt. In diesem Fall ist aber auch nach Fakt die Körpererweiterung einfach. Wir können also annehmen, dass unendlich ist. Sei zunächst vorausgesetzt, dass es in nur endlich viele Zwischenkörper gibt. Sei . Jeder von verschiedene Zwischenkörper , , ist ein maximal -dimensionaler -Untervektorraum von und daher gibt es eine von verschiedene -lineare Abbildung

mit . Zu gehört ein lineares Polynom (in Variablen) mit der entsprechenden Eigenschaft. Das Polynom ist dann auf der Vereinigung aller Zwischenkörper gleich . Da unendlich ist, gibt es aber nach Aufgabe auch Elemente mit . Der von einem solchen Element über erzeugte Körper muss gleich sein, da er nach Konstruktion in keinem anderen Zwischenkörper liegt.

Sei nun

eine einfache Körpererweiterung mit dem Minimalpolynom . Für jeden Zwischenkörper , , ist und das Minimalpolynom von über ist in und insbesondere in ein Teiler von . Nach Fakt besteht die Beziehung , wobei die die Koeffizienten von sind. Da in nur endlich viele (normierte) Teiler besitzt, gibt es nur endlich viele Zwischenkörper.

Zur bewiesenen Aussage