Satz von Casorati-Weierstraß

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Der Satz von Casorati-Weierstraß ist eine Aussage über das Verhalten holomorpher Funktionen in der Umgebung wesentlicher Singularitäten. Er besagt im wesentlichen, dass in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularität jede komplexe Zahl durch die Werte der Funktion beliebig genau approximiert werden kann. Er ist eine deutlich einfacher zu beweisende Abschwächung des großen Satzes von Picard, der besagt, dass in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularitäten jede komplexe Zahl bis auf möglicherweise eine Ausnahme unendlich oft als Wert auftritt.

Aussage[Bearbeiten]

Es sei offen und . Es sei eine holomorphe Funktion. Genau dann hat in eine wesentliche Singularität, wenn für jede Umgebung von : gilt.

Beweis[Bearbeiten]

Sei zunächst eine wesentliche Singularität von , angenommen, es gäbe ein , so dass nicht dicht in liegt. Dann gibt es ein und ein , so dass und disjunkt sind. Betrachte auf die Funktion . Dabei soll so gewählt werden, dass die einzige -Stelle in ist. Dies ist möglich nach dem Identitätssatz für nicht konstante holomorphe Funktionen. ist nicht konstant, da es ein wesentliche Singularität besitzt. Sie ist holomorph und durch beschränkt. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ist also auf ganz holomorph fortsetzbar. Wegen gibt es ein und eine holomorphe Funktion mit , so dass

Es folgt, dass

und damit

Da , ist auf einer Umgebung von holomorph. Daher ist auf einer Umgebung von holomorph und damit hat in höchstens einen Pol -ter Ordnung. Widerspruch.

Umgekehrt sei eine hebbare Singularität oder ein Pol von . Ist eine hebbare Singularität, so gibt es eine Umgebung von , auf der beschränkt ist, gelte etwa für . Dann ist

Ist ein Pol der Ordnung für , so gibt es eine Umgebung von und eine holomorphe Funktion mit und . Wähle eine Umgebung , so dass für . Dann ist also

Also ist und das zeigt die Behauptung.

Siehe auch[Bearbeiten]