Der Satz von Casorati-Weierstraß ist eine Aussage über das Verhalten holomorpher Funktionen in der Umgebung wesentlicher Singularitäten. Er besagt im wesentlichen, dass in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularität jede komplexe Zahl durch die Werte der Funktion beliebig genau approximiert werden kann. Er ist eine deutlich einfacher zu beweisende Abschwächung des großen Satzes von Picard, der besagt, dass in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularitäten jede komplexe Zahl bis auf möglicherweise eine Ausnahme unendlich oft als Wert auftritt.
Es sei
offen und
. Es sei
eine holomorphe Funktion. Genau dann hat
in
eine wesentliche Singularität, wenn für jede Umgebung
von
:
gilt.
Sei zunächst
eine wesentliche Singularität von
, angenommen, es gäbe ein
, so dass
nicht dicht in
liegt. Dann gibt es ein
und ein
, so dass
und
disjunkt sind. Betrachte auf
die Funktion
. Dabei soll
so gewählt werden, dass
die einzige
-Stelle in
ist. Dies ist möglich nach dem Identitätssatz für nicht konstante holomorphe Funktionen.
ist nicht konstant, da es ein wesentliche Singularität besitzt. Sie ist holomorph und durch
beschränkt. Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ist also
auf ganz
holomorph fortsetzbar. Wegen
gibt es ein
und eine holomorphe Funktion
mit
, so dass
Es folgt, dass
und damit
Da
, ist
auf einer Umgebung von
holomorph. Daher ist
auf einer Umgebung von
holomorph und damit hat
in
höchstens einen Pol
-ter Ordnung. Widerspruch.
Umgekehrt sei
eine hebbare Singularität oder ein Pol von
. Ist
eine hebbare Singularität, so gibt es eine Umgebung
von
, auf der
beschränkt ist, gelte etwa
für
. Dann ist
Ist
ein Pol der Ordnung
für
, so gibt es eine Umgebung
von
und eine holomorphe Funktion
mit
und
. Wähle eine Umgebung
, so dass
für
. Dann ist also
Also ist
und das zeigt die Behauptung.