Satz von Casorati-Weierstraß

Einleitung

Der Satz von Casorati-Weierstraß ist eine Aussage über das Verhalten holomorpher Funktionen in der Umgebung wesentlicher Singularitäten. Er besagt im Wesentlichen, dass in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularität jede komplexe Zahl durch die Werte der Funktion beliebig genau approximiert werden kann.

Bezug zum Satz von Picard

Er ist eine deutlich einfacher zu beweisende Abschwächung des großen Satzes von Picard, der besagt, dass in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularitäten jede komplexe Zahl bis auf möglicherweise eine Ausnahme unendlich oft als Wert auftritt.

Punktierte Umgebungen

Man betrachtet bei Casorati-Weierstraß punktierte Umgebungen $U_{o}:=U\setminus \{z_{o}\}$ um die wesentliche Singularität $z_{o}$ . Die Umgebung $U$ ist punktiert, damit man eine wohldefinierte Bildmenge $f(U_{o})\subseteq \mathbb {C}$ enthält.

Abschluss der Bildmenge in reellen Zahlen

$f(z)={\frac {1}{z}}$ ist ein Pol 1. Ordnung und für dieses Beispiel berechnet man für $U:=]-\varepsilon ,+\varepsilon [$ die Bildmenge von $U_{o}:=U\setminus \{0\}$ . Dann erhält man:

$f(U_{o})=\left]-\infty ,-{\frac {1}{\varepsilon }}\right[\cup \left]{\frac {1}{\varepsilon }},+\infty ,\right[$
${\overline {f(U_{o})}}=\left]-\infty ,-{\frac {1}{\varepsilon }}\right]\cup \left[{\frac {1}{\varepsilon }},+\infty ,\right[$

Es gilt für $f(U_{o})\not =\mathbb {R}$ und ${\overline {f(U_{o})}}\not =\mathbb {R}$ .

Einführende Aufgabe

Skizzieren Sie im Koordninatensystem die abgeschlossene Bildmengen ${\overline {f(B_{\varepsilon }(0))}}$ von der punktierten $\varepsilon$ -Umgebung $B_{\varepsilon }(0)$ in $\mathbb {C}$ für die Funktion:

{\begin{array}{rrcl}f:&\mathbb {C} \setminus \{0\}&\rightarrow &\mathbb {C} \\&z&\mapsto &f(w)={\frac {1}{z}}\end{array}}

Dabei ist allgemein $B_{\varepsilon }(z_{o}):=\{z\in \mathbb {C} \ \colon \ |z-z_{o}|<\varepsilon \}$ .

Satz von Casorati-Weierstraß

Es sei $G\subseteq \mathbb {C}$ offen und $z_{0}\in G$ . Es sei $f\colon G\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$ eine holomorphe Funktion. Genau dann hat $f$ in $z_{0}$ eine wesentliche Singularität, wenn für jede Umgebung $U\subseteq G$ von $z_{0}$ : ${\overline {f(U\setminus \{z_{0}\})}}=\mathbb {C}$ gilt.

Beweis

Der Beweis ist eine Äquivalenzaussage, bei der die folgenden beiden Richtungen mit $U_{o}:=U\setminus \{z-o\}$ gezeigt werden müssen:

(Beweisrichtung 1) $f$ hat in $z_{0}\in G$ eine wesentliche Singularität $\Longrightarrow$ ${\overline {f(U_{o})}}=\mathbb {C}$ für jede punktierte Umgebung $U_{o}\subset G$ von $z_{o}$ .
(Beweisrichtung 2) ${\overline {f(U_{o})}}=\mathbb {C}$ gilt für jede punktierte Umgebung $U_{o}\subset G$ von $z_{o}$ $\Longrightarrow$ $f$ hat in $z_{0}\in G$ eine wesentliche Singularität.

Beweisrichtung 1

Beweisrichtung 1 wird als Beweis durch Widerspruch geführt.

Beweisrichtung 1.1 - Annahme

Sei zunächst $z_{0}$ eine wesentliche Singularität von $f$ , angenommen, es gäbe ein $r>0$ , so dass ${\overline {f(B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\})}}\not =\mathbb {C}$ (d.h. $f(B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\})$ liegt nicht dicht in $\mathbb {C}$ ).

Beweisrichtung 1.2 - Element aus dem Komplement

Wenn $W:={\overline {f(B_{r}(z_{0})\setminus \{z_{0}\})}}\not =\mathbb {C}$ gilt, dann gibt es ein Element $w_{1}\in \mathbb {C} \!\setminus \!W\not =\emptyset$ . Weil $W$ als Menge nach Definition abgeschlossen ist, ist das Komplement $W^{c}=\mathbb {C} \!\setminus \!W$ offen. Mit der Offentheit von $W^{c}$ gibt es ein $\varepsilon >0$ mit $B_{\varepsilon }(w_{1})\subseteq W^{c}$ .

Beweisrichtung 1.3 - Epsilonumgebung - Topologie

Für das gewählte $\epsilon >0$ und $w_{0}\in B_{\epsilon }(w_{1})\subseteq \mathbb {C} \!\setminus \!\!W$ gilt:

f(B_{r}(z_{0})\!\setminus \!\{z_{0}\})\ \ \cap \ \ B_{\epsilon }(w_{1})\ =\ \emptyset

Damit habe alle Bildpunkte $f(z)$ für alle $z\in B_{r}(z_{0})$ mindestens den Abstand $\varepsilon$ von $w_{1}$ (d.h. $|f(z)-w_{1}|\geq \varepsilon$ )

Beweisrichtung 1.4 - Definition einer Funktion g

Man definiert nun die Funktion

{\begin{array}{rrcl}g:&B_{r}(z_{0})\!\setminus \!\{z_{0}\}&\rightarrow &\mathbb {C} \\&x&\mapsto &g(z):={\frac {1}{f(z)-w_{1}}}\end{array}}

.

Beweisrichtung 1.5 - Anwendung Identitätssatz

$f$ ist nicht konstant, da es ein wesentliche Singularität besitzt. $f$ kann aber auch auf keiner Teilmenge $B_{r}(z_{0})\subset G$ konstant sein, da sonst $f$ nach dem Identitätssatz auch auf ganz $G$ konstant sein müsste. Damit ist auch die Funktion $g$ keine konstante Funktion.

Beweisrichtung 1.6 - Beschränktheit von g

Die Funktion $g$ ist holomorph, da $f$ auf $B_{r}(z_{0})\!\setminus \!\{z_{0}\}$ holomorph ist. Ferne ist $g$ durch ${\frac {1}{\epsilon }}$ beschränkt, denn es gilt für alle $z\in B_{r}(z_{0})\!\setminus \!\{z_{0}\}$ :

|g(z)|=\left|{\frac {1}{f(z)-w_{1}}}\right|={\frac {1}{\underbrace {\left|f(z)-w_{1}\right|} _{\geq \varepsilon }}}\leq {\frac {1}{\varepsilon }}

Beweisrichtung 1.7 - Anwendung Riemannscher Hebbarkeitssatz

Nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz ist also $g$ auf ganz $B_{r}(z_{0})$ holomorph fortsetzbar. Sei $w_{o}\in \mathbb {C}$ die holomorphe Fortsetzung von $g$ auf $g_{o}$ mit

{\begin{array}{rrcl}g_{o}:&B_{r}(z_{o})&\rightarrow &\mathbb {C} \\&z&\mapsto &g_{o}(z)={\begin{cases}g(z)&,&z\not =z_{o}\\w_{o}&,&z=z_{o}\\\end{cases}}\end{array}}

und es gilt $\lim _{z\to z_{0}}g_{o}(z)=w_{o}$ .

Beweisrichtung 1.8 - Fallunterscheidung für Bildpunkt

Gilt für den Funktionswert $g_{o}(z_{o})=w_{o}\not =0$ , dann kann man auch ${\frac {1}{g_{o}(z_{0})}}={\frac {1}{w_{0}}}$ berechnen und man erhält auch eine hebbare Singularität für $f$ mit der Fortsetzung:

{\frac {1}{w_{0}}}={\frac {1}{g_{o}(z_{0})}}=\lim _{z\to z_{0}(z\not =z_{0})}{\frac {1}{g_{o}(z)}}=\lim _{z\to z_{0}(z\not =z_{0})}f(z)-w_{1}

gilt $w_{0}\not =0$ , denn wäre $w_{o}=0$

Beweisrichtung 1.9 - Fallunterscheidung für Bildpunkt

Gilt für den Funktionswert $g_{o}(z_{o})=w_{o}=0$ , dann gilt mit $h(z):=f(z)-w_{1}$

\lim _{z\to z_{o}(z\not =z_{o})}h(z)=\lim _{z\to z_{o}(z\not =z_{o})}{f(z)-w_{1}}=\lim _{z\to z_{o}(z\not =z_{o})}{\frac {1}{g_{o}(z)}}=\infty

.

Also hat $h$ und damit auch $f$ nach Definition einen Pol.

Beweisrichtung 1.10 - Widerspruch

Die Resultate aus 1.8 und 1.9 ergeben den Widerspruch zu Annahme, dass $f$ ein wesentliche Singularität besitzt.

Beweisrichtung 2

Sei nun ${\overline {f(U_{o})}}=\mathbb {C}$ für jede punktierte Umgebung $U_{o}\subset G$ von $z_{o}$ . Zu zeigen ist nun, dass $f$ in $z_{0}\in G$ eine wesentliche Singularität.

Beweisrichtung 2.1 - Ausschluss hebbare Singularität

Wenn ${\overline {f(U_{o})}}=\mathbb {C}$ für jede punktierte Umgebung $U_{o}\subset G$ von $z_{o}$ , dann ist $f$ in jeder punktierten Umgebung unbeschränkt. Damit kann $f$ in $z_{o}$ keine hebbare Singularität besitzen.

Beweisrichtung 2.2 - Ausschluss Pol

Wenn eine Funktion $\lim _{z\to z_{0}(z\not =z_{0})}f(z)=\infty$ erfüllen soll, muss gibt es für $\varepsilon >0$ ein $\delta >0$ , sodass für alle $z\in B_{\delta }(z_{o})\setminus \{0\}$ die Bedingung $|f(z)|>{\frac {1}{\varepsilon }}$ ist. Da aber das Bild in jeder Umgebung von $z_{o}$ dicht in $\mathbb {C}$ liegt, hat $f$ in $z_{o}$ auch keine Pol. Dabei bedeutet die Bedingung $|f(z)|>{\frac {1}{\varepsilon }}$ , dass $f(z)$ auf der Riemannschen Zahlenkugel in der $\varepsilon$ -Umgebung von dem Punkt $\infty$ ist.

Beweisrichtung 2.3 - Wesentliche Singularität

Insgesamt hat $f$ also eine wesentliche Singularität.

Siehe auch