Satz von Gauss/x^2+y^2/Wegintegral über Einheitskreis/Beispiel

Die Funktion

$u\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{2}$

ist nicht harmonisch, ihre Laplace-Ableitung ${}\triangle u$ ist konstant gleich ${}4$. Für die Einheitskreisscheibe ${}T=B\left(0,1\right)$ ist somit

${}\int _{T}\triangle ud\lambda ^{2}=\int _{T}4d\lambda ^{2}=4\pi \,.$

Daher ist nach Fakt auch

${}\int _{\partial T}{\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}=\int _{\gamma }{\left(-2y,2x\right)}=4\pi \,,$

wobei ${}\gamma$ die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises bezeichnet. Dies ergibt sich auch direkt aus

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }{\left(-2y,2x\right)}&=2\int _{\gamma }{\left(-y,x\right)}\\&=2\int _{0}^{2\pi }\sin t\cdot \sin t+\cos t\cdot \cos tdt\\&=2\int _{0}^{2\pi }1dt\\&=4\pi .\end{aligned}}$