Satz von Gauss/x^2-y^2/Harmonisch/Wegintegral über Einheitskreis/Beispiel

Die Funktion

$u\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}-y^{2}$

ist harmonisch. Daher ist für eine regulär berandete, ebene Teilmenge ${}T$

${}\int _{T}\triangle ud\lambda ^{2}=0\,$

und daher ist nach Fakt auch

${}\int _{\partial T}{\left(-{\frac {\partial u}{\partial y}},{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)}=\int _{\partial T}{\left(2y,2x\right)}=0\,.$

Für ${}T=B\left(0,1\right)$ ist beispielsweise mit der trigonometrischen Parametrisierung ${}\gamma$

${}\int _{\gamma }{\left(2y,2x\right)}=0\,.$

Dies ergibt sich auch direkt aus

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }{\left(y,x\right)}&=\int _{0}^{2\pi }-\sin t\cdot \sin t+\cos t\cdot \cos tdt\\&=\int _{0}^{2\pi }1-2\sin ^{2}tdt\\&={\left(t-t+\sin t\cos t\right)}{|}_{0}^{2\pi }\\&=0.\end{aligned}}$