Schnittmultiplizität/y^2-x^b,y^2-x^c/(0,0)/(1,1)/Unendlich ferner Schnittpunkt/Aufgabe/Lösung

a) Die Schnittmultiplizität ist die $K$-Vektorraum-Dimension von $K[X,Y{]}_{(X,Y)}/(Y^2-X^b,Y^2-X^c)$. Im lokalen Ring $K[X,Y{]}_{(X,Y)}$ gilt  $X^b-X^c=X^b(1-X^{c-b})$  und $1-X^{c-b}$ ist eine Einheit. Daher gelten die Gleichheiten

$\begin{array}{cc}(Y^2-X^b,Y^2-X^c)& =(Y^2-X^b,X^b-X^c)\\ & =(Y^2-X^b,X^b)\\ & =(Y^2,X^b).\end{array}$

Somit ist

$K[X,Y{]}_{(X,Y)}/(Y^2-X^b,Y^2-X^c)=K[X,Y{]}_{(X,Y)}/(Y^2,X^b)=K[X,Y]/(Y^2,X^b),$

und dessen Dimension ist $2b$.

b) Die partiellen Ableitungen von $Y^2-X^b$ sind $(2Y,-b{X}^{b-1})$. Im Punkt $(1,1)$ ist dies $(2,-b)$. Daran sieht man, dass ein glatter Punkt vorliegt, dessen Tangente durch den Richtungsvektor $(b,2)$ gegeben ist. Entsprechendes gilt für $Y^2-X^c$. Daher schneiden sich die beiden Kurven in $(1,1)$ transversal und somit ist nach Fakt die Schnittmultiplizität gleich $1$.

c) Die Homogenisierungen der Kurvengleichungen sind $Y^2{Z}^{b-2}-X^b$ und $Y^2{Z}^{c-2}-X^c$. Die unendlich fernen Schnittpunkte liegen in ${\mathbb{P}}_K^2\setminus D_{+}(Z)$, also auf $V_{+}(Z)$. Dies ergibt für beide Kurven die Bedingung  $Z=X=0$ 

und den zusätzlichen Punkt $(0,1,0)$.

Zur gelösten Aufgabe