Selbstisometrie/Verschiedene Charakterisierungen mit Orthonormalbasis/Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und sei

$\phi :V⟶V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. $\phi$ ist eine Isometrie.
2. Für jeden Vektor $v$ mit  $\Vert v\Vert =1$  ist auch  $\Vert \phi (v)\Vert =1$. 
3. Für jede Orthonormalbasis $u_i,i=1,\dots ,n$, ist auch $\phi (u_i),i=1,\dots ,n$, eine Orthonormalbasis.
4. Es gibt eine Orthonormalbasis $u_i,i=1,\dots ,n$, derart, dass auch $\phi (u_i),i=1,\dots ,n$, eine Orthonormalbasis ist.

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