Semilinear/Verknüpfung/Induktion/Aufgabe

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},V_{n+1}$ Vektorräume über ${}{\mathbb {C} }$, es seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i+1}$

lineare oder antilineare Abbildungen und es sei

${}\varphi =\varphi _{n}\circ \varphi _{n-1}\circ \cdots \circ \varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,$

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen. Zeige durch Induktion über ${}n$ die beiden folgenden Aussagen.

1. Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen gerade ist, so ist ${}\varphi$ linear.
2. Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen ungerade ist, so ist ${}\varphi$ antilinear.

Gilt von diesen Aussagen auch die Umkehrung?

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