Sesquilinearform/Orthogonalisierbar/Korrespondenz/Normal/Aufgabe/Lösung

Wenn $φ$ ein normaler Endomorphismus ist, so gibt es nach Fakt eine Orthonormalbasis $u_{1}, \dots, u_{n}$ zu $⟨ -, - ⟩$ aus Eigenvektoren zu $φ$ . Für diese ist dann

\begin{matrix} Ψ (u_{i}, u_{j}) & = ⟨ φ (u_{i}), u_{j} ⟩ \\ = ⟨ λ_{i} u_{i}, u_{j} ⟩ \\ = λ_{i} ⟨ u_{i}, u_{j} ⟩ \\ = 0 \end{matrix}

für $i \neq j$ . Also erfüllt diese Basis auch die Orthogonalitätsrelation für $Ψ$ und somit ist $Ψ$ orthogonalisierbar.

Es sei umgekehrt $u_{1}, \dots, u_{n}$ eine Orthonormalbasis, die zugleich die Orthogonalitätsrelation für $Ψ$ erfüllt. Es sei $Ψ = Ψ_{φ}$ . Wir machen den Ansatz

φ (u_{i}) = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} u_{k} .

Für alle $j \neq i$ ist

\begin{matrix} 0 & = Ψ (u_{i}, u_{j}) \\ = ⟨ φ (u_{i}), u_{j} ⟩ \\ = ⟨ \sum_{k = 1}^{n} a_{k} u_{k}, u_{j} ⟩ \\ = \sum_{k = 1}^{n} ⟨ a_{k} u_{k}, u_{j} ⟩ \\ = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} ⟨ u_{k}, u_{j} ⟩ \\ = a_{j} . \end{matrix}

Somit ist

φ (u_{i}) = a_{i} u_{i}

und die $u_{i}$ sind Eigenvektoren zu $φ$ . Somit besitzt $φ$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren und ist daher nach Fakt

normal.

Zur gelösten Aufgabe