Sesquilinearform/Orthogonalisierbar/Korrespondenz/Normal/Aufgabe/Lösung

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Wenn ein normaler Endomorphismus ist, so gibt es nach Fakt eine Orthonormalbasis zu aus Eigenvektoren zu . Für diese ist dann

für . Also erfüllt diese Basis auch die Orthogonalitätsrelation für und somit ist orthogonalisierbar.

Sei umgekehrt eine Orthonormalbasis, die zugleich die Orthogonalitätsrelation für erfüllt. Es sei . Wir machen den Ansatz

Für alle ist

Somit ist

und die sind Eigenvektoren zu . Somit besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren und ist daher nach Fakt

normal.
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