Wenn
ein
normaler Endomorphismus
ist, so gibt es nach
Fakt
eine Orthonormalbasis
zu
aus Eigenvektoren zu
. Für diese ist dann

für
.
Also erfüllt diese Basis auch die Orthogonalitätsrelation für
und somit ist
orthogonalisierbar.
Es sei umgekehrt
eine Orthonormalbasis, die zugleich die Orthogonalitätsrelation für
erfüllt. Es sei
.
Wir machen den Ansatz
-

Für alle
ist

Somit ist
-

und die
sind Eigenvektoren zu
. Somit besitzt
eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren und ist daher nach
Fakt
normal.