Simplizialer Komplex/Stanley-Reisner-Ring/Achsenraumkonfiguration/Ideal/Fakt/Beweis

Beweis

Die Inklusion ${}I_{\Delta }\subseteq \operatorname {Id} \,{\left(\Delta (K)\right)}$ ist klar nach Fakt. Es sei nun

${}f\notin I_{\Delta }\,.$

Wir schreiben

${}f=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\,,$

wobei wir direkt davon ausgehen können, dass nur solche Monome ${}X^{\nu }$ mit einem Koeffizienten ${}a_{\nu }\neq 0$ auftreten, deren Träger eine Seite des simplizialen Komplexes ist (da die Monome zu Nichtseiten die Nullfunktion induzieren). Dabei sei ${}S$ eine Seite des simplizialen Komplexes, die als Träger eines Monoms in ${}f$ vorkommt. Es sei ${}S\subseteq F$ eine Facette und ${}K^{F}$ der zugehörige Achsenraum, der nach Fakt eine irreduzible Komponente der Achsenraumkonfiguration ist. Ein Monom ${}X^{\nu }$, das in ${}f$ vorkommt und dessen Träger nicht in ${}F$ liegt, induziert auf dem Achsenraum ${}K^{F}$ die Nullfunktion und man kann es weglassen, da dies den Wert der Polynomfunktion auf diesem Achsenraum nicht ändert. Ohne Einschränkung liege also der Träger eines jedes Monoms von ${}f$ in ${}F$. Dann ist aber ${}f$ einfach ein Polynom in den Variablen ${}X_{v}$, ${}v\in F$, und der ${}K^{F}$ ist der natürliche affine Raum, auf dem diese Polynome als Funktionen wirken. Bei einem unendlichen Körper ist aber nach Aufgabe ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom nicht die Nullfunktion auf dem affinen Raum.

Zur bewiesenen Aussage