Skalare Multiplikation/Polynomring/Hopf-Algebra/Beispiel

Zu einem kommutativen Ring ${}K$ lässt sich die skalare Multiplikation auf dem ${}K^{n}$ bzw. auf dem Polynomring  ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  folgendermaßen als eine Kooperation der Hopf-Algebra  ${}H=K[U,U^{-1}]$  zur multiplikativen Gruppe realisieren: Man definiert die Kooperation durch

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[U,U^{-1}]\otimes _{K}K[X_{1},\ldots ,X_{n}],\,X_{i}\longmapsto U\otimes X_{i}.$

Ein ${}K$-Punkt von ${}H\otimes _{K}R$ ist dabei nach Fakt durch einen ${}K$-Punkt von ${}H$ und einen ${}K$-Punkt von ${}R$ gegeben, also durch eine Einheit  ${}t\in K^{\times }$  und ein ${}n$-Tupel  ${}(a_{1},\ldots ,a_{n})\in K^{n}$  festgelegt. Dieser wird unter der Kooperation wie gewünscht auf ${}(ta_{1},\ldots ,ta_{n})$ abgebildet.