Spezielle lineare Gruppe/2/Z/Erzeuger/Textabschnitt

Wir betrachten die spezielle lineare Gruppe in der Dimension ${}2$ über ${}\mathbb {Z}$, also

${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}={\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} ,\,ad-bc=1\right\}}\,.$

Wir setzen

${}S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\,$

und

${}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\,.$

Diese haben die Wirkungsweise

${}{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-c&-d\\a&b\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a+c&b+d\\c&d\end{pmatrix}}\,.$

Lemma

In ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$ mit

${}S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\,$

und

${}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}\,$

gelten die Beziehungen

${}S^{2}=-\operatorname {Id} \,$

und

${}(ST)^{3}=-\operatorname {Id} \,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Satz

Die spezielle lineare Gruppe ${}\operatorname {SL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}$

wird von den beiden Matrizen ${}S={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$ und ${}T={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ erzeugt.

Beweis

Wir beweisen die Aussage, dass jede spezielle lineare Matrix ${}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ über ${}\mathbb {Z}$ in der von den beiden Matrizen erzeugten Untergruppe liegt, durch Induktion über ${}\vert {c}\vert$. Wenn dieser Betrag gleich ${}0$ ist, so ist ${}a=d=\pm 1$ und durch Multiplikation mit ${}S^{2}$ (siehe Fakt) können wir annehmen, dass die Diagonalelemente gleich ${}1$ sind. Dann ist die Matrix eine Potenz von ${}T$ (mit einem eventuell negativen Exponenten). Es sei die Aussage nun für alle speziellen linearen Matrizen mit ${}\vert {c}\vert <n$ bewiesen und sei eine spezielle lineare Matrix mit ${}\vert {c}\vert =n$ gegeben. Wegen der Präsenz von ${}S$ können wir annehmen, dass auch ${}a$ einen Betrag von zumindest ${}n$ besitzt. Durch Multiplikation mit ${}T$ oder mit ${}T^{-1}$ von links kann man dann die erste Spalte ${}{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}$ durch ${}{\begin{pmatrix}a\pm c\\c\end{pmatrix}}$ ersetzen und erhält, wenn man dies hinreichend oft ausführt, eine erste Spalte ${}{\begin{pmatrix}a'\\c\end{pmatrix}}$ mit ${}\vert {a'}\vert <n$, worauf wir nach Multiplikation mit ${}S$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können.

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