Spur/Dualität zwischen Homs/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$-Vektorräume. Zeige, dass durch die Spur

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\times \operatorname {Hom} _{K}{\left(W,V\right)}\longrightarrow K,\,(A,B)\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(A\circ B\right)},$

eine vollständige Dualität gestiftet wird, dass also ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}$ und ${}\operatorname {Hom} _{K}{\left(W,V\right)}$

in natürlicher Weise dual zueinander sind.

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