Wir betrachten die Funktion
-
mit
-
![{\displaystyle {}f(t):={\begin{cases}0{\text{ für }}t=0,\\{\frac {1}{t}}\sin {\frac {1}{t^{2}}}{\text{ für }}t\neq 0\,.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/555db7f7b7c1057a374877d223f540800cf05509)
Diese Funktion ist nicht
Riemann-integrierbar,
da sie weder nach oben noch nach unten
beschränkt
ist. Es existieren also weder untere noch
obere Treppenfunktionen
für
. Trotzdem besitzt
eine
Stammfunktion.
Dazu betrachten wir die Funktion
-
![{\displaystyle {}H(t):={\begin{cases}0{\text{ für }}t=0,\\{\frac {t^{2}}{2}}\cos {\frac {1}{t^{2}}}{\text{ für }}t\neq 0\,.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c33f0c0e90a5162c3609fe450e5b3c167658af4f)
Diese Funktion ist
differenzierbar.
Für
ergibt sich die Ableitung
-
![{\displaystyle {}H'(t)=t\cos {\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t}}\sin {\frac {1}{t^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/389a296c90d8bb377b001e76c80dcd0d1fe8e7b3)
Für
ist der
Differenzenquotient
gleich
-
![{\displaystyle {}{\frac {{\frac {h^{2}}{2}}\cos {\frac {1}{h^{2}}}}{h}}={\frac {h}{2}}\cos {\frac {1}{h^{2}}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d88888e5fc43d1d276b94a1aa9f4ec5e7ecc428)
Für
existiert der
Grenzwert
und ist gleich
, so dass
überall differenzierbar ist
(aber nicht stetig differenzierbar).
Der erste Summand in
ist
stetig
und besitzt daher nach
Fakt
eine Stammfunktion
. Daher ist
eine Stammfunktion von
. Dies ergibt sich für
aus der expliziten Ableitung und für
aus
-
![{\displaystyle {}H'(0)-G'(0)=0-0=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f349d56c484c046b2e1e59275d05c6738bd0c1e0)