Stammfunktion und Riemann-Integral/1 durch x sin 1 durch x^2/Beispiel

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Wir betrachten die Funktion

mit

Diese Funktion ist nicht Riemann-integrierbar, da sie weder nach oben noch nach unten beschränkt ist. Es existieren also weder untere noch obere Treppenfunktionen für . Trotzdem besitzt eine Stammfunktion. Dazu betrachten wir die Funktion

Diese Funktion ist differenzierbar. Für ergibt sich die Ableitung

Für ist der Differenzenquotient gleich

Für existiert der Grenzwert und ist gleich , so dass überall differenzierbar ist (aber nicht stetig differenzierbar). Der erste Summand in ist stetig und besitzt daher nach Fakt eine Stammfunktion . Daher ist eine Stammfunktion von . Dies ergibt sich für aus der expliziten Ableitung und für aus