Stammfunktion und Riemann-Integral/1 durch x sin 1 durch x^2/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,t⟼f(t),$

mit

$f(t):=\{\begin{array}{c}0\text{ für }t=0,\\ \frac{1}{t}\sin \frac{1}{t^2}\text{ für }t\ne 0.\end{array}$

Diese Funktion ist nicht Riemann-integrierbar, da sie weder nach oben noch nach unten beschränkt ist. Es existieren also weder untere noch obere Treppenfunktionen für $f$. Trotzdem besitzt $f$ eine Stammfunktion. Dazu betrachten wir die Funktion

$H(t):=\{\begin{array}{c}0\text{ für }t=0,\\ \frac{t^2}{2}\cos \frac{1}{t^2}\text{ für }t\ne 0.\end{array}$

Diese Funktion ist differenzierbar. Für  $t\ne 0$  ergibt sich die Ableitung

$H^{\prime }(t)=t\cos \frac{1}{t^2}+\frac{1}{t}\sin \frac{1}{t^2}.$

Für  $t=0$  ist der Differenzenquotient gleich

$\frac{\frac{h^2}{2}\cos \frac{1}{h^2}}{h}=\frac{h}{2}\cos \frac{1}{h^2}.$

Für $h\mapsto 0$ existiert der Grenzwert und ist gleich $0$, sodass $H$ überall differenzierbar ist (aber nicht stetig differenzierbar). Der erste Summand in $H^{\prime }$ ist stetig und besitzt daher nach Fakt eine Stammfunktion $G$. Daher ist $H-G$ eine Stammfunktion von $f$. Dies ergibt sich für  $t\ne 0$  aus der expliziten Ableitung und für  $t=0$  aus

$H^{\prime }(0)-G^{\prime }(0)=0-0=0.$