Stetige Abbildung/Fundamentalgruppe/Erste Homologie/Gruppenhomomorphismus/Funktorialität/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien ${}X,Y,Z$ wegzusammenhängende topologische Räume, es seien ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ und

$\psi \colon Y\longrightarrow Z$

stetige Abbildungen. Zeige, dass die zugehörigen Gruppenhomomorphismen zwischen den ersten Homologiegruppen die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Es ist

   ${}H_{1}(\psi \circ \varphi )=H_{1}(\psi )\circ H_{1}(\varphi )\,.$

2. Wenn ${}\varphi$ und ${}\psi$ invers zueinander sind (was ${}X=Z$ voraussetzt), so sind ${}H_{1}(\psi )$ und ${}H_{1}(\varphi )$ invers zueinander.
3. Wenn ${}\varphi$ ein Homöomorphismus ist, dann ist ${}H_{1}(\varphi )$ ein Isomorphismus.

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