Stetige Abbildung/Fundamentalgruppe/Gruppenhomomorphismus/Funktorialität/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien $X,Y,Z$ topologische Räume, es seien $\phi :X\to Y$ und

$\psi :Y⟶Z$

stetige Abbildungen und  $x\in X$  mit  $\phi (x)=y$  und  $z=\psi (y)$.  Zeige, dass die zugehörigen Gruppenhomomorphismen zwischen den Fundamentalgruppen die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Es ist

   $\pi (\psi \circ \phi )=\pi (\psi )\circ \pi (\phi ).$

2. Wenn $\phi$ und $\psi$ invers zueinander sind (was  $X=Z$  voraussetzt), so sind $\pi (\psi )$ und $\pi (\phi )$ invers zueinander.
3. Wenn $\phi$ ein Homöomorphismus ist, dann ist $\pi (\phi )$ ein Isomorphismus.

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