Stetige Abbildung/Prägarbe/Vorschub/Halme/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung, ${}Q\in Y$ ein Punkt und ${}{\mathcal {F}}$ eine Prägarbe auf ${}X$. Zeige, dass der Halm der vorgeschobenen Prägarbe ${}\varphi _{*}{\mathcal {F}}$ im Punkt ${}Q$ gleich

$\operatorname {colim} \,_{Q\in V}{\mathcal {F}}{\left(\varphi ^{-1}(V)\right)}=\operatorname {colim} \,_{\left\{U\subseteq X\mid {\text{ es gibt }}Q\in V{\text{ mit }}\varphi ^{-1}(V)\subseteq U\right\}}{\mathcal {F}}{\left(U\right)}\,$

ist.

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