Subgraph/Zugehörige Rotationsmenge/Volumen/Fakt

Volumen eines Rotationskörpers

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,t\longmapsto f(t),$

eine nichtnegative messbare Funktion und sei ${}K\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Rotationskörper zum Subgraphen von ${}f$ um die ${}x$-Achse.

Dann besitzt ${}K$ das Volumen

${}\lambda ^{3}(K)=\pi \cdot \int _{[a,b]}(f(t))^{2}\,d\lambda (t)=\pi \cdot \int _{a}^{b}(f(t))^{2}\,dt\,,$

wobei für die zweite Formel ${}f$ als stetig vorausgesetzt sei.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen