Symmetrische Bilinearform/Orthogonalbasis/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei $A$ der Ausartungsraum der Bilinearform und $U$ ein direktes Komplement, also

$V=A\oplus U.$

Dabei ist die Einschränkung der Bilinearform auf $U$ nicht ausgeartet. Es sei $w_1,\dots ,w_s$ eine Basis von $A$ und $v_1,\dots ,v_m$ eine Basis von $U$. Die Vektoren $w_i$ können wir auf jeden Fall als Teil einer Orthogonalbasis nehmen, da diese ja auf allen Vektoren orthogonal stehen. Wir müssen uns also nur noch um $U$ kümmern. Das bedeutet, dass wir gleich annehmen können, dass wir eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf $V$ haben. Wegen der Polarisationsformel gibt es dann auch $v\in V$ mit

$⟨v,v⟩\ne 0.$

Der Orthogonalraum zu $v$ besitzt deshalb und wegen der Eigenschaft, nicht ausgeartet zu sein, die Dimension ${\dim }_K\left(V\right)-1$. Dieser Orthogonalraum ist ebenfalls nicht ausgeartet, daher gibt es nach Induktion über die Dimension eine Basis $v_1,\dots ,v_n$ mit

$⟨v_i,v_i⟩\ne 0.$

Eine solche Basis lässt sich in folgender Weise orthogonalisieren, und zwar kann man eine Orthogonalbasis ${v_1}^{\prime },\dots ,{v_n}^{\prime }$ finden mit

$⟨v_1,\dots ,v_i⟩=⟨{v_1}^{\prime },\dots ,{v_i}^{\prime }⟩$

für alle $i$. Dies zeigen wir durch Induktion, seien ${v_1}^{\prime },\dots ,{v_i}^{\prime }$ schon konstruiert. Wir setzen

$c_j:=⟨v_j,v_{i+1}⟩$

und setzen

$v_{i^{\prime }+1}=v_{i+1}-\sum _{j=1}^i\frac{c_j}{⟨v_j,v_j⟩}{v}_j.$

Dann ist für  $k\le i$ 

$⟨v_{i+1}^{\text{'}},v_k⟩=⟨v_{i+1}-\sum _{j=1}^i\frac{c_j}{⟨v_j,v_j⟩}{v}_j,v_k⟩=⟨v_{i+1},v_k⟩-\frac{c_k}{⟨v_k,v_k⟩}⟨v_k,v_k⟩=0.$

Zur gelösten Aufgabe