Symmetrische Gruppe/Permutationsmatrix/Kontravariant auf Polynomring/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die symmetrische Gruppe ${}S_{n}$, die auf ${}K^{n}$ linear operiert, indem ${}\sigma \in S_{n}$ den ${}i$-ten Standardvektor ${}e_{i}$ auf ${}e_{\sigma (i)}$ schickt (wie in Beispiel). Diese Gruppenoperation induziert gemäß Definition eine Operation auf dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dabei wird ${}X_{i}$ auf ${}X_{\sigma ^{-1}(i)}$ geschickt!