Tangentialabbildung/Punktweise/Elementare Eigenschaften/Fakt/Beweis
(1). Jeder Tangentialvektor wird repräsentiert durch einen affin-linearen Weg mit einem Vektor , sodass wir zwischen diesen Vektoren und den durch sie definierten Tangentialvektoren hin- und herwechseln können. Für den zusammengesetzten Weg gilt nach der Kettenregel
(2). Die Kettenregel angewendet auf (wobei man und durch kleinere offene Mengen ersetzen muss)
liefert
was gerade die Kommutativität des Diagramms ist.
(3). Die Aussage folgt aus (2) und der Linearität des
totalen Differentials.
(4). Durch Übergang zu Karten folgt dies aus (2) und der Kettenregel.
(5) folgt aus (4) angewendet auf die Umkehrabbildung .
(6). Das Element
ist als Tangentenvektor an einem Punkt
als der Weg zu interpretieren. Bei
ist dies der identische Weg. Daher ist