Tangentialbündel/Algebraisch/Beispiele/Textabschnitt

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Beispiel  

Zur Gleichung

gehört die Gleichung für die Differentiale

Wir schreiben und und erhalten das Gleichungssystem

Es ist

und somit ist, wenn ein Nichtnullteiler ist, auch . Wegen

sieht man, dass die Primideale und die Komponenten der Varietät bilden, ihr Durchschnitt ist die durch gegebene Gerade. Die Parametrisierung und liefert wegen und die (bis auf einen Faktor) Liftung und .



Beispiel  

Wir betrachten die durch

gegebene Kurve. Für die Differentiale gilt die Beziehung

Durch Quadrieren ergibt sich

Wir können ersetzen und, um die horizontale Komponente zu bestimmen, durch dividieren, und erhalten

Die Schnittmenge dieser Komponente mit dem Tangentialraum über der Singularität ist daher das Achsenkreuz



Beispiel  

Wir betrachten die Minoren zu

also das Ideal

und den Restklassenring

Zwischen den Erzeugern besteht beispielsweise die Beziehung

Die Gleichungen für die Differentiale sind

Zwischen diesen drei Erzeugern besteht eine Relation mit den Koeffizienten .

Es ist

Die rechte Seite muss auf der horizontalen Komponente verschwinden. Durch Addition mit dem dritten Differential ergibt sich


Es ist im rationalen Sinn

und

Es ist

Der Kern der Abbildung

besteht aus allen

mit

und