Tangentialbündel/Algebraisch/Beispiele/Textabschnitt
Zur Gleichung
gehört die Gleichung für die Differentiale
Wir schreiben und und erhalten das Gleichungssystem
Es ist
und somit ist, wenn ein Nichtnullteiler ist, auch . Wegen
sieht man, dass die Primideale und die Komponenten der Varietät bilden, ihr Durchschnitt ist die durch gegebene Gerade. Die Parametrisierung und liefert wegen und die (bis auf einen Faktor) Liftung und .
Wir betrachten die durch
gegebene Kurve. Für die Differentiale gilt die Beziehung
Durch Quadrieren ergibt sich
Wir können ersetzen und, um die horizontale Komponente zu bestimmen, durch dividieren, und erhalten
Die Schnittmenge dieser Komponente mit dem Tangentialraum über der Singularität ist daher das Achsenkreuz
Wir betrachten die Minoren zu
also das Ideal
und den Restklassenring
Zwischen den Erzeugern besteht beispielsweise die Beziehung
Die Gleichungen für die Differentiale sind
Zwischen diesen drei Erzeugern besteht eine Relation mit den Koeffizienten .
Es ist
Die rechte Seite muss auf der horizontalen Komponente verschwinden. Durch Addition mit dem dritten Differential ergibt sich
Es ist im rationalen Sinn
und
Es ist
Der Kern der Abbildung
besteht aus allen
mit
und