Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ ganze Zahlen und ${}H=(a_{1},\ldots ,a_{k})={\left\{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}+\cdots +n_{k}a_{k}\mid n_{j}\in \mathbb {Z} \right\}}$ die davon erzeugte Untergruppe. Zeige, dass eine ganze Zahl ${}t$ genau dann ein gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{k}$ ist, wenn ${}H\subseteq \mathbb {Z} t$ ist, und dass ${}t$ genau dann ein größter gemeinsamer Teiler ist, wenn ${}H=\mathbb {Z} t$ ist.

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