Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

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Aus folgt sofort für jedes , was gerade bedeutet, dass diese Zahlen teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Sei umgekehrt ein gemeinsamer Teiler. Dann ist und da die kleinste Untergruppe ist, die alle enthält, muss gelten.

Aufgrund von Fakt wissen wir, dass es eine ganze Zahl gibt mit . Für einen anderen gemeinsamen Teiler der gilt ,

so dass von allen anderen gemeinsamen Teilern geteilt wird, also ein größter gemeinsamer Teiler ist.