Teilbarkeitstheorie (Z)/Gemeinsame Teiler/Charakterisierung mit Untergruppen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aus  $H=(a_1,\dots ,a_k)\subseteq (t)$  folgt sofort  $\mathbb{Z}{a}_i\subseteq \mathbb{Z}t$  für jedes  $i=1,\dots ,k$,  was gerade bedeutet, dass $t$ diese Zahlen teilt, also ein gemeinsamer Teiler ist. Es sei umgekehrt $t$ ein gemeinsamer Teiler. Dann ist  $a_i\in \mathbb{Z}t$  und da  $H=(a_1,\dots ,a_k)$  die kleinste Untergruppe ist, die alle $a_i$ enthält, muss  $H\subseteq \mathbb{Z}t$  gelten.

Aufgrund von Fakt wissen wir, dass es eine ganze Zahl $d$ mit  $H=\mathbb{Z}d$  gibt. Für einen anderen gemeinsamen Teiler $t$ der $a_i$ gilt  $\mathbb{Z}d=H\subseteq \mathbb{Z}t$, 

sodass $d$ von allen anderen gemeinsamen Teilern geteilt wird, also ein größter gemeinsamer Teiler ist.

Zur gelösten Aufgabe