Die Implikation folgt aus
Fakt.
Es sei umgekehrt die Eigenschaft erfüllt. Wir geben eine auf definierte Funktion an, die differenzierbar ist und deren
Gradientenfeld
gleich dem vorgegebenen Vektorfeld ist. Dazu sei ein Punkt
fixiert. Für jeden Punkt
gibt es einen
stetig differenzierbaren Weg
-
mit
und .
Wir setzen
-
Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist wohldefiniert. Wir müssen zeigen, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt
und in jede Richtung
differenzierbar
ist und die Richtungsableitung mit übereinstimmt. Dazu betrachten wir
-
wobei der verbindende lineare Weg von nach auf sei
(und hinreichend klein sei, damit
ist).
Für den
Differentialquotienten
ist
Somit existiert die Richtungsableitung von in Richtung und hängt stetig von ab. Diese Gleichung zeigt ferner
-
sodass
das Gradientenfeld zu
ist.