Teilmenge/R^n/Gradientenfeld/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Die Implikation $(1)\Rightarrow (2)$ folgt aus Fakt.
Es sei umgekehrt die Eigenschaft $(2)$ erfüllt. Wir geben eine auf $U$ definierte Funktion $h$ an, die differenzierbar ist und deren Gradientenfeld gleich dem vorgegebenen Vektorfeld ist. Dazu sei ein Punkt  $P\in U$  fixiert. Für jeden Punkt  $Q\in U$  gibt es einen stetig differenzierbaren Weg

$\gamma :[a,b]⟶U$

mit $\gamma (a)=P$ und $\gamma (b)=Q$. Wir setzen

$h(Q):={\int }_{\gamma }G.$

Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist $h(Q)$ wohldefiniert. Wir müssen zeigen, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt  $Q\in U$  und in jede Richtung  $v=(v_1,\dots ,v_n)\in {ℝ}^n$  differenzierbar ist und die Richtungsableitung mit $⟨G(Q),v⟩$ übereinstimmt. Dazu betrachten wir

$h(Q+tv)-h(Q)={\int }_{\delta }G={\int }_0^t⟨G(Q+sv),v⟩ds={\int }_0^t\sum _{i=1}^n{G}_i(Q+sv)\cdot v_{i}ds,$

wobei $\delta$ der verbindende lineare Weg von $Q$ nach $Q+tv$ auf $[0,t]$ sei (und $t$ hinreichend klein sei, damit $Q+tv\in U$ ist). Für den Differentialquotienten ist

$\begin{array}{cc}{\lim }_{t\to 0}\frac{h(Q+tv)-h(Q)}{t}& =\sum _{i=1}^n{\lim }_{t\to 0}\frac{1}{t}{\int }_0^t{G}_i(Q+sv)\cdot v_{i}ds\\ & =\sum _{i=1}^n{G}_i(Q)\cdot v_i\\ & =⟨G(Q),v⟩.\end{array}$

Somit existiert die Richtungsableitung von $h$ in Richtung $v$ und hängt stetig von $Q$ ab. Diese Gleichung zeigt ferner

${\left(Dh\right)}_Q\left(v\right)=\left(D_{v}h\right)\left(Q\right)=⟨G(Q),v⟩,$

sodass $G$ das Gradientenfeld zu $h$ ist.

Zur gelösten Aufgabe