Tensorprodukt/Funktorialität im Modul/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Die Abbildung

ist -bilinear und induziert daher einen -Modulhomomorphismus

(2). Die Surjektivität der Abbildung

ist klar, da die ein -Modulerzeugendensystem von bilden und diese im Bild der Abbildung liegen. Für die Exaktheit an der anderen Stelle müssen wir die Isomorphie

nachweisen. Dazu beweisen wir für diesen Restklassenmodul, dass er die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt. Es sei also

eine -multilineare Abbildung in einen -Modul . Somit liegt auch eine eindeutige multilineare Abbildung

und damit eine -lineare Abbildung

vor. Wegen

ist

und daher gibt es eine eindeutige Faktorisierung

Zur bewiesenen Aussage