Tensorprodukt/Funktorialität im Modul/Fakt/Beweis

Beweis

(1). Die Abbildung

$U\times M\longrightarrow V\otimes _{R}M,\,(u,m)\longmapsto \varphi (u)\otimes m,$

ist ${}R$-bilinear und induziert daher einen ${}R$-Modulhomomorphismus

$U\otimes _{R}M\longrightarrow V\otimes _{R}M.$

(2). Die Surjektivität der Abbildung

$V\otimes _{R}M\longrightarrow W\otimes _{R}M$

ist klar, da die ${}w\otimes m$ ein ${}R$-Modulerzeugendensystem von ${}W\otimes _{R}N$ bilden und diese im Bild der Abbildung liegen. Für die Exaktheit an der anderen Stelle müssen wir die Isomorphie

${}V\otimes _{R}M/\operatorname {bild} {\left(U\otimes _{R}M\right)}\cong W\otimes _{R}M\,$

nachweisen. Dazu beweisen wir für diesen Restklassenmodul, dass er die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt. Es sei also

$W\times M\longrightarrow N$

eine ${}R$-multilineare Abbildung in einen ${}R$-Modul ${}N$. Somit liegt auch eine eindeutige multilineare Abbildung

$\psi \colon V\times M\longrightarrow N$

und damit eine ${}R$-lineare Abbildung

${\tilde {\psi }}\colon V\otimes _{R}M\longrightarrow N$

vor. Wegen

${}\psi (\operatorname {bild} U\times M)=0\,$

ist

${}{\tilde {\psi }}{\left(\operatorname {bild} U\otimes _{R}M\right)}=0\,$

und daher gibt es eine eindeutige Faktorisierung

$V\otimes _{R}M/\operatorname {bild} {\left(U\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow N.$

Zur bewiesenen Aussage