Tensorprodukt/Funktorialität im Vektorraum/Fakt/Beweis

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Beweis

(1). Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

(2). Die Surjektivität der Abbildung

ist klar, da die ein -Erzeugendensystem von bilden und diese im Bild der Abbildung liegen.

(3). Wegen der Injektivität können wir

als Untervektorraum auffasen. Eine Basis , , von können wir zu einer Basis , , mit von ergänzen. Sei , , eine Basis von . Dann ist nach Fakt die Familie , , eine Basis von und , , ist eine Teilmenge davon, die eine Basis von ist. Also wird unter

eine Basis auf linear unabhängige Elemente abgebildet und somit ist diese Abbildung injektiv.

Zur bewiesenen Aussage