Vektorraum/Tensorprodukt/Erzeugendensystem/Basis/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ Vektorräume über ${}K$. Es seien ${}J_{1},\ldots ,J_{n}$ Indexmengen und

$v_{ij},j\in J_{i},$

Vektoren in ${}V_{i}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn die Familien jeweils ein Erzeugendensystem von ${}V_{i}$ bilden, so ist die Familie

   $v_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nj_{n}}{\text{ mit }}(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J_{1}\times \cdots \times J_{n}$

   ein Erzeugendensystem von ${}V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$.

2. Wenn die Familien jeweils linear unabhängig in ${}V_{i}$ sind, so ist die Familie

   $v_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nj_{n}}{\text{ mit }}(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J_{1}\times \cdots \times J_{n}$

   linear unabhängig in ${}V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$.

3. Wenn die Familien jeweils eine Basis von ${}V_{i}$ bilden, so ist die Familie

   $v_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nj_{n}}{\text{ mit }}(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J_{1}\times \cdots \times J_{n}$

   eine Basis von ${}V_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}V_{n}$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen