Vektorraum/Tensorprodukt/Erzeugendensystem/Basis/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und seien $V_1,\dots ,V_n$ Vektorräume über $K$. Es seien $J_1,\dots ,J_n$ Indexmengen und

$v_{ij},j\in J_i,$

Vektoren in $V_i$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn die Familien jeweils ein Erzeugendensystem von $V_i$ bilden, so ist die Familie

   $v_{1j_1}{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{v}_{n{j}_n}\text{ mit }(j_1,\dots ,j_n)\in J_1\times \cdots \times J_n$

   ein Erzeugendensystem von $V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n$.

2. Wenn die Familien jeweils linear unabhängig in $V_i$ sind, so ist die Familie

   $v_{1j_1}{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{v}_{n{j}_n}\text{ mit }(j_1,\dots ,j_n)\in J_1\times \cdots \times J_n$

   linear unabhängig in $V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n$.

3. Wenn die Familien jeweils eine Basis von $V_i$ bilden, so ist die Familie

   $v_{1j_1}{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{v}_{n{j}_n}\text{ mit }(j_1,\dots ,j_n)\in J_1\times \cdots \times J_n$

   eine Basis von $V_1{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{V}_n$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen