Theorie der Abbildungen/Tupel und Familien/Textabschnitt

Tupel

In der Definition einer Abbildung sind die Definitionsmenge und die Wertemenge grundsätzlich gleichwichtig. Dennoch gibt es Situationen, wo mal das Hauptgewicht auf der einen oder der anderen Menge liegt. Der allgemeine Abbildungsbegriff deckt eben auch Situationen ab, bei denen man zunächst gar nicht unbedingt an Abbildungen denkt.

Betrachten wir beispielsweise die Potenzmenge einer Menge ${}M$. Jede Teilmenge von ${}M$ kann man mit einer Abbildung von ${}M$ in die zweielementige Menge ${}\{0,1\}$ identifizieren, siehe Aufgabe. Hier ist also die Wertemenge extrem einfach und die Abbildung repräsentiert an jeder Stelle eine Ja/Nein-Entscheidung.

Andererseits kann man (geordnete) Paare ${}(x,y)$ zu einer Menge ${}M$, also Elemente aus der Produktmenge ${}M\times M$, als eine Abbildung

$f\colon \{1,2\}\longrightarrow M$

ansehen, mit ${}f(1)=x$ und ${}f(2)=y$. Hier identifiziert man also die Abbildung mit der geordneten Aufzählung der Werte. In einer solchen Situation bezeichnet man die Abbildung häufig mit einem Symbol, das sich an den Bezeichnungen für die Elemente aus ${}M$ anlehnt. Wenn man beispielsweise die Elemente aus ${}M$ mit ${}x$ bezeichnet, so schreibt man für ein Paar häufig

${}x=(x_{1},x_{2})\,$

In der Sprache der Abbildungen ist dabei ${}x_{i}$ der Wert der Abbildung ${}x$ an der Stelle ${}i$. Die Schreibweise ${}x_{i}$ (statt ${}x(i)$) suggeriert, dass das Hauptgewicht darauf liegt, was in der Wertemenge ${}M$ passiert, und nicht in der Definitionsmenge.

Definition

Es seien ${}I$ und ${}M$ Mengen. Dann nennt man eine Abbildung

$x\colon I\longrightarrow M,\,i\longmapsto x_{i},$

auch ein ${}I$-Tupel in ${}M$. Bei ${}I=\{1,\ldots ,n\}$ spricht man von einem ${}n$-Tupel in ${}M$.

Die Menge ${}I$ heißt in diesem Zusammenhang auch Indexmenge, ein Element aus der Indexmenge heißt Index. Bei einem ${}I$-Tupel ${}x$ sind die Elemente durch die Indices indiziert. Zu ${}i\in I$ heißt ${}x_{i}$ die ${}i$-te Komponente des Tupels. Ein ${}n$-Tupel schreibt man meist als

$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).$

Bei einer zweielementigen Indexmenge spricht man von einem Paar, bei einer dreielementigen Menge von einem Tripel.

Die Menge aller ${}I$-Tupel wird mit

${}M^{I}=\{f:I\rightarrow M\}=\operatorname {Abb} \,{\left(I,M\right)}\,$

bezeichnet. Bei ${}I=\{1,\ldots ,n\}$ schreibt man auch

$M^{n}=M^{\{1,\ldots ,n\}}=\underbrace {M\times \cdots \times M} _{n{\text{-mal}}}.$

Die reelle Ebene ${}\mathbb {R} ^{2}$ ist also nichts anderes als die Menge der Zweitupel von reellen Zahlen, der reelle Raum ${}\mathbb {R} ^{3}$ besteht aus allen reellen Tripeln.

Bei ${}I=\mathbb {N}$ spricht man von Folgen in ${}M$, worauf wir in aller Ausführlichkeit noch eingehen werden. Eine endliche Indexmenge kann man stets durch eine Menge der Form ${}\{1,\ldots ,n\}$ ersetzen (diesen Vorgang kann man eine Nummerierung der Indexmenge nennen), doch ist das nicht immer sinnvoll. Wenn man z.B. mit einer Indexmenge ${}I=\{1,\ldots ,n\}$ startet und sich dann für gewisse Teilindexmengen ${}J\subseteq I$ interessiert, so ist es natürlich, die von ${}I$ ererbten Bezeichnungen beizubehalten, anstatt ${}J$ mit einer neuen Nummerierung ${}\{1,\ldots ,m\}$ zu versehen. Häufig gibt es für ein bestimmtes Problem „natürliche“ Indexmengen, die (allein schon mnemotechnisch)

einen Teil des strukturellen Gehalts des Problems widerspiegeln. Eine lineare Abbildung vom ${}\mathbb {R} ^{n}$ in den ${}\mathbb {R} ^{m}$ wird z.B. durch eine Matrix mit ${}m$ Zeilen und ${}n$ Spalten beschrieben, also insgesamt mit ${}mn$ Einträgen. Diese Matrixeinträge indiziert man am einfachsten mit einem Doppelindex

$a_{ij},$

wobei der eine Index für den Spaltenindex und der andere für den Zeilenindex steht. Durch eine solche natürliche Bezeichnung ist stets der Bezug klar, und dieser würde völlig verloren gehen, wenn man eine neue Indexmenge der Form ${}\{1,2,\ldots ,mn\}$ einführen würde.

Familien von Mengen

Es können nicht nur Elemente, sondern auch Mengen durch eine Indexmenge indiziert werden. Dann spricht man von einer Mengenfamilie.

Definition

Es sei ${}I$ eine Menge und zu jedem ${}i\in I$ sei eine Menge ${}M_{i}$ gegeben. Eine solche Situation nennt man eine Familie von Mengen

$M_{i}{\text{ , }}i\in I.$

Die Menge ${}I$ heißt dabei die Indexmenge der Mengenfamilie.

Dabei können die Mengen völlig unabhängig voneinander sein, es kann aber auch sein, dass sie alle Teilmengen einer bestimmten Grundmenge sind.

Definition

Es sei ${}M_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge ${}G$. Dann heißt

${}\bigcap _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid x\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\right\}}\,$

der Durchschnitt der Mengen und

${}\bigcup _{i\in I}M_{i}={\left\{x\in G\mid {\text{es gibt ein }}i\in I{\text{ mit }}x\in M_{i}\right\}}\,$

die Vereinigung der Mengen.

Man beachte, dass dabei der Durchschnitt und die Vereinigung auf den All- bzw. den Existenzquantor zurückgeführt wird.

Definition

Es sei ${}I$ eine Menge und zu jedem ${}i\in I$ sei eine Menge ${}M_{i}$ gegeben. Dann nennt man die Menge

${}M=\prod _{i\in I}M_{i}=\{(x_{i})_{i\in I}:\,x_{i}\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\}\,$

die Produktmenge der ${}M_{i}$.

Sobald eine der beteiligten Mengen ${}M_{i}$ leer ist, ist auch das Produkt leer, da es dann für die ${}i$-te Komponente keinen möglichen Wert gibt. Wenn aber umgekehrt alle Mengen ${}M_{i}$ nicht leer sind, so ist auch ihr Produkt nicht leer, da man für jeden Index ${}i$ dann ein Element ${}x_{i}\in M_{i}$ wählen kann. Bei einem formalen axiomatischen Aufbau der Mengentheorie muss man übrigens fordern, dass dieses Wählen möglich ist. Dies ist der Inhalt des Auswahlaxioms.

Beispiel

Zu ${}n\in \mathbb {N}$ sei

${}M_{n}={\left\{x\in \mathbb {N} \mid x\geq n\right\}}\,$

die Menge aller natürlichen Zahlen, die mindestens so groß wie ${}n$ sind. Diese ist eine durch die natürlichen Zahlen indizierte Familie von Teilmengen von ${}\mathbb {N}$. Es gelten die Inklusionen

$M_{n}\subseteq M_{m}{\text{ für }}n\geq m.$

Der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$

ist leer, da es keine natürliche Zahl gibt, die größer/gleich jeder anderen natürlichen Zahl ist.

Beispiel

Zu ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei

${}\mathbb {N} n={\left\{x\in \mathbb {N} _{+}\mid x{\text{ ist ein Vielfaches von }}n\right\}}\,$

die Menge aller positiven natürlichen Zahlen, die Vielfache von ${}n$ sind. Dies ist eine durch die positiven natürlichen Zahlen indizierte Familie von Teilmengen von ${}\mathbb {N}$. Es gelten die Inklusionen

$\mathbb {N} n\subseteq \mathbb {N} m{\text{ für }}m{\text{ teilt }}n.$

Der Durchschnitt

$\bigcap _{n\in \mathbb {N} _{+}}\mathbb {N} n$

ist leer, da es keine positive natürliche Zahl gibt, die ein Vielfaches von jeder positiven natürlichen Zahl ist (die ${}0$ ist ein solches Vielfaches).

Beispiel

Es sei ${}x$ eine reelle Zahl und es sei ${}x_{n}$ diejenige rationale Zahl, die sich aus allen Vorkommaziffern und den ersten ${}n$ Nachkommaziffern von ${}x$ im Dezimalsystem ergibt. Wir definieren die Intervalle

${}M_{n}=\left[x_{n},x_{n}+{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{n}\right]\subset \mathbb {R} \,.$

Dies sind Intervalle der Länge ${}{\left({\frac {1}{10}}\right)}^{n}$ und es ist

${}\{x\}=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}\,.$

Die Familie ${}M_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ist also eine Intervallschachtelung für ${}x$.

Beispiel

Es sei ${}M$ eine Menge. Für ${}n\in \mathbb {N}$ definieren wir rekursiv

$M_{0}=M{\text{ und }}M_{n}={\mathfrak {P}}\,(M_{n-1}){\text{ für }}n\geq 1.$

Man nimmt also jeweils von der Vorgängermenge die Potenzmenge. Ein Element aus dem Produkt

$(x_{n})\in \prod _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$

besteht also in der nullten Komponenten aus einem Element aus ${}M$, in der ersten Komponenten aus einer Teilmenge von ${}M$, in der zweiten Komponenten aus einer Menge von Teilmengen von ${}M$ usw. Zwischen den einzelnen Mengen aus der Familie besteht keine Inklusionsbeziehung.