Topologie/Überlagerungen/Abbildungen von Überlagerungen/Fakt/Beweis

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Beweis

Sei eine Abbildung von rechten -Mengen. Um diese zu einer Abbildung von Überlagerungen von zu erweitern, sei eine Wegzusammenhangskomponente von . Da nach Voraussetzung lokal weg-zusammenhängend ist, ist es auch nach dieser Aussage. Insbesondere ist der topologische Raum die disjunkte Vereinigung seiner Wegzusammenhangskomponenten nach diesem Satz. Zudem ist wieder eine Überlagerung. Es reicht also, eine Abbildung von Überlagerungen anzugeben, die auf mit übereinstimmt. Dies geschieht mit Hilfe des Liftungssatzes.

Sei und . Der Liftungssatz liefert die Existenz (genau) einer stetigen Abbildung mit genau dann, wenn gilt. Nach obigem Satz ist . Weil eine Abbildung von rechten -Mengen ist, gilt . Wieder nach obigem Satz ist . Also ist der Liftungssatz anwendbar, und es existiert eine stetige Abbildung mit , die auf mit übereinstimmt. Nun ist jedes Element in nach obigem Satz von der Form für ein . Dies impliziert, dass auf ganz mit übereinstimmt. Somit ist gezeigt, dass die Abbildung

surjektiv ist.

Das obige Argument zeigt, dass die Abbildung von Überlagerungen von schon durch die Angabe des Bildes eines Punktes eindeutig bestimmt ist. Dies zeigt die Injektivität der Abbildung zusammen mit der universellen Eigenschaft der disjunkten Vereinigung.