Topologie und Geometrie/Grundbegriffe für Gitterpunktsatz/Zusammenstellung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängige Vektoren im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Dann heißt die Untergruppe ${}\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}$ ein Gitter im ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter. Als Gruppen sind sie isomorph zu ${}\mathbb {Z} ^{n}$, hier interessieren aber auch Eigenschafen der Einbettung in ${}\mathbb {R} ^{n}$. Ein Gitter heißt rational, wenn die erzeugenden Vektoren zu ${}\mathbb {Q} ^{n}$ gehören.

Definition

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten ${}P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

$rP+(1-r)Q{\text{ mit }}r\in [0,1],$

ebenfalls zu ${}T$ gehört.

Der Durchschnitt von konvexen Teilmengen ist wieder konvex. Daher kann man definieren:

Definition

Zu einer Teilmenge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt die kleinste konvexe Teilmenge ${}T$, die ${}U$ umfasst, die konvexe Hülle von ${}U$.

Die konvexe Hülle ist einfach der Durchschnitt von allen konvexen Teilmengen, die ${}U$ umfassen.

Im zweidimensionalen kann man sich die konvexe Hülle so vorstellen, dass man eine Schnur um die fixierten Punkte aus ${}U$ legt und die Schnur dann zusammen zieht.

Definition

Zu einem durch linear unabhängige Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren ${}\epsilon _{1}v_{1}+\cdots +\epsilon _{n}v_{n}$ mit ${}\epsilon _{i}\in \{0,1\}$ als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.

Die in der vorstehenden Definition auftauchenden Vektoren sind die Eckpunkte des von den Basisvektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ erzeugten Parallelotops. Die Elemente der Grundmasche selbst sind alle Vektoren der Form

$r_{1}v_{1}+\cdots +r_{n}v_{n}{\text{ mit }}r_{i}\in [0,1]$

Wir werden die Grundmasche häufig mit ${}{\mathfrak {M}}$ bezeichnen. Zu einem Gitterpunkt ${}P$ nennt man die Menge ${}P+{\mathfrak {M}}$ eine Masche des Gitters. Ein beliebiger Punkt ${}Q\in \mathbb {R} ^{n}$ hat eine eindeutige Darstellung ${}Q=t_{1}v_{1}+\cdots +t_{n}v_{n}$ und damit ist

${}Q=(\lfloor t_{1}\rfloor v_{1}+\cdots +\lfloor t_{n}\rfloor v_{n})+((t_{1}-\lfloor t_{1}\rfloor )v_{1}+\cdots +(t_{n}-\lfloor t_{n}\rfloor )v_{n})\,,$

wobei der erste Summand zum Gitter gehört und der zweite Summand zur Grundmasche. Insbesondere haben zwei verschiedene Maschen nur Randpunkte, aber keine inneren Punkte gemeinsam.

Definition

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt ${}P\in T$ auch der Punkt ${}-P$ zu ${}T$ gehört.