Topologie und Geometrie/Grundbegriffe für Gitterpunktsatz/Zusammenstellung/Textabschnitt

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Definition  

Seien linear unabhängige Vektoren im . Dann heißt die Untergruppe ein Gitter im .

Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter. Als Gruppen sind sie isomorph zu , hier interessieren aber auch Eigenschafen der Einbettung in . Ein Gitter heißt rational, wenn die erzeugenden Vektoren zu gehören.


Definition  

Eine Teilmenge heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

ebenfalls zu gehört.

Convex set.svg
Non Convex set.svg


Der Durchschnitt von konvexen Teilmengen ist wieder konvex. Daher kann man definieren:


Definition  

Zu einer Teilmenge heißt die kleinste konvexe Teilmenge , die umfasst, die konvexe Hülle von .

Die konvexe Hülle ist einfach der Durchschnitt von allen konvexen Teilmengen, die umfassen.

ConvexHull.png


Im zweidimensionalen kann man sich die konvexe Hülle so vorstellen, dass man eine Schnur um die fixierten Punkte aus legt und die Schnur dann zusammen zieht.


Definition  

Zu einem durch linear unabhängige Vektoren gegebenen Gitter bezeichnet man die konvexe Hülle der Vektoren mit als die Grundmasche (oder Fundamentalmasche) des Gitters.

Die in der vorstehenden Definition auftauchenden Vektoren sind die Eckpunkte des von den Basisvektoren erzeugten Parallelotops. Die Elemente der Grundmasche selbst sind alle Vektoren der Form

Wir werden die Grundmasche häufig mit bezeichnen. Zu einem Gitterpunkt nennt man die Menge eine Masche des Gitters. Ein beliebiger Punkt hat eine eindeutige Darstellung und damit ist

wobei der erste Summand zum Gitter gehört und der zweite Summand zur Grundmasche. Insbesondere haben zwei verschiedene Maschen nur Randpunkte, aber keine inneren Punkte gemeinsam.

Determinant parallelepiped.svg



Definition  

Eine Teilmenge heißt zentralsymmetrisch, wenn mit jedem Punkt auch der Punkt zu gehört.