Topologische Gruppen/Kommutativ/Kurze exakte Sequenz/Lokal stetiger Schnitt/Garbensequenz/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist klar, dass ein Komplex von Garben von kommutativen Gruppen auf $X$ vorliegt. Die Injektivität links ist ebenfalls klar. Zur Exaktheit in der Mitte: Wenn zu einer offenen Menge  $U\subseteq X$  eine stetige Abbildung $\phi :U\to G$ die Eigenschaft besitzt, dass $p\circ \phi$ die Nullabbildung ist, so liegt das Bild von $\phi$ in $F$. Da $F$ die induzierte Topologie von $G$ trägt, ist auch die Abbildung $\phi :U\to F$ stetig. Zur Garbensurjektivität rechts: Es sei  $P\in X$  ein Punkt und

$\psi :V⟶H$

eine auf einer offenen Umgebung von $P$ definierte stetige Abbildung nach $H$. Es sei  $\psi (P)=h$.  Nach Voraussetzung gibt es eine offene Umgebung  $h\in W\subseteq H$  und einen Schnitt $s:W\to G$ mit  $p\circ s={\mathrm{Id}}_W$.  Wir betrachten

$U:=V\cap {\psi }^{-1}(W).$

Dann ist $s\circ \psi$ (eingeschränkt auf $U$) ein stetiger Schnitt von $G$, der unter $p$ auf $\psi$ abgebildet wird.

Zur bewiesenen Aussage