Topologische Gruppen/Kommutativ/Kurze exakte Sequenz/Lokal stetiger Schnitt/Garbensequenz/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist klar, dass ein Komplex von Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$ vorliegt. Die Injektivität links ist ebenfalls klar. Zur Exaktheit in der Mitte: Wenn zu einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ eine stetige Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow G$ die Eigenschaft besitzt, dass ${}p\circ \varphi$ die Nullabbildung ist, so liegt das Bild von ${}\varphi$ in ${}F$. Da ${}F$ die induzierte Topologie von ${}G$ trägt, ist auch die Abbildung ${}\varphi \colon U\rightarrow F$ stetig. Zur Garbensurjektivität rechts: Es sei ${}P\in X$ ein Punkt und

$\psi \colon V\longrightarrow H$

eine auf einer offenen Umgebung von ${}P$ definierte stetige Abbildung nach ${}H$. Es sei ${}\psi (P)=h$. Nach Voraussetzung gibt es eine offene Umgebung ${}h\in W\subseteq H$ und einen Schnitt ${}s\colon W\rightarrow G$ mit ${}p\circ s=\operatorname {Id} _{W}$. Wir betrachten

${}U:=V\cap \psi ^{-1}(W)\,.$

Dann ist ${}s\circ \psi$ (eingeschränkt auf ${}U$) ein stetiger Schnitt von ${}G$, der unter ${}p$ auf ${}\psi$ abgebildet wird.

Zur bewiesenen Aussage