Topologische Räume/Relatives Produkt/Aufgabe

Es seien ${}L_{1},L_{2},M$ topologische Räume und

$p_{1}\colon L_{1}\longrightarrow M$

und

$p_{2}\colon L_{2}\longrightarrow M$

stetige Abbildungen. Wir definieren

${}L_{1}\times _{M}L_{2}:={\left\{(x_{1},x_{2})\mid p_{1}(x_{1})=p_{2}(x_{2})\right\}}\subseteq L_{1}\times L_{2}\,$

mit der induzierten Topologie.

1. Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm

   ${\begin{matrix}L_{1}\times _{M}L_{2}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&L_{1}&\\\downarrow &&\downarrow &\\L_{2}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&M&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

   mit stetigen Abbildungen gibt.

2. Es sei ${}T$ ein weiterer topologischer Raum und ${}\psi _{1}\colon T\rightarrow L_{1}$ und ${}\psi _{2}\colon T\rightarrow L_{2}$ stetige Abbildungen mit

   ${}p_{1}\circ \psi _{1}=p_{2}\circ \psi _{2}\,.$

   Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte stetige Abbildung

   $\psi \colon T\longrightarrow L_{1}\times _{M}L_{2}$

   derart gibt, dass die Projektionen auf ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$ mit ${}\psi _{1},\psi _{2}$ übereinstimmen.

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