Topologischer Raum/(Stetige) Partition der Eins/Definition

Partition der Eins

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Eine Familie von Funktionen

$h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

mit  ${}j\in J$  heißt eine Partition der Eins, wenn folgende Eigenschaften gelten.

1. Es ist  ${}h_{j}(X)\subseteq [0,1]$  für alle  ${}j\in J$. 
2. Jeder Punkt  ${}P\in X$  besitzt eine offene Umgebung  ${}P\in U$  derart, dass die eingeschränkten Funktionen ${}h_{j}{|}_{U}$ bis auf endlich viele Ausnahmen die Nullfunktion sind.
3. Es ist  ${}\sum _{j\in J}h_{j}=1$. 

Wenn alle ${}h_{j}$ stetig sind, so spricht man von einer stetigen Partition der Eins.