Topologischer Raum/(Stetige) Partition der Eins/Definition

Partition der Eins

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Eine Familie von Funktionen

$h_j:X⟶ℝ$

mit  $j\in J$  heißt eine Partition der Eins, wenn folgende Eigenschaften gelten.

1. Es ist  $h_j(X)\subseteq [0,1]$  für alle  $j\in J$. 
2. Jeder Punkt  $P\in X$  besitzt eine offene Umgebung  $P\in U$  derart, dass die eingeschränkten Funktionen $h_j{|}_U$ bis auf endlich viele Ausnahmen die Nullfunktion sind.
3. Es ist  $\sum _{j\in J}{h}_j=1$. 

Wenn alle $h_j$ stetig sind, so spricht man von einer stetigen Partition der Eins.