Topologischer Raum/(Stetige) Partition der Eins/Definition

Partition der Eins

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Eine Familie von Funktionen

$h_{j}\colon X\longrightarrow \mathbb {R}$

mit ${}j\in J$ heißt eine Partition der Eins, wenn folgende Eigenschaften gelten.

1. Es ist ${}h_{j}(X)\subseteq [0,1]$ für alle ${}j\in J$.
2. Jeder Punkt ${}P\in X$ besitzt eine offene Umgebung ${}P\in U$ derart, dass die eingeschränkten Funktionen ${}h_{j}{|}_{U}$ bis auf endlich viele Ausnahmen die Nullfunktion sind.
3. Es ist ${}\sum _{j\in J}h_{j}=1$.

Wenn alle ${}h_{j}$ stetig sind, so spricht man von einer stetigen Partition der Eins.