Topologischer Raum/Kompakt/C/Stone-Weierstrass/Fakt

Satz von Stone-Weierstrass ( ${}{\mathbb {C} }$ )

Es sei ${}X$ ein kompakter topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {C} })$ eine ${}{\mathbb {C} }$-Unteralgebra, die die Punkte aus ${}X$ trennt und die mit jeder Funktion auch ihre komplex-konjugierte Funktion enthält.

Dann ist

${}{\overline {T}}=C(X,{\mathbb {C} })\,.$

D.h. jede stetige Funktion ${}f\colon X\rightarrow {\mathbb {C} }$ lässt sich beliebig gut durch Funktionen aus ${}T$ approximieren.

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