Topologischer Raum/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $Y$ die disjunkte Vereinigung der $U_{i}$ . Wir definieren auf $Y$ eine Äquivalenzrelation $\sim$ , wobei wir Punkte $x_{i} \in U_{i}$ und $x_{j} \in U_{j}$ als äquivalent ansehen, wenn $x_{i} \in U_{i j}$ , $x_{j} \in U_{j i}$ und $φ_{j i} (x_{i}) = x_{j}$ ist. Die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind dabei durch die Kozykelbedingung gesichert, siehe Aufgabe. Wir setzen

X := Y / \sim

und versehen $X$ mit der Quotiententopologie. Die Verknüpfungen

U_{i} ⟶ Y ⟶ X

sind die $ψ_{i}$ , und $V_{i}$ sind die Bilder dieser Abbildungen. Daher liegen Homöomorphismen $ψ_{i} : U_{i} \to V_{i}$ vor. Dabei ist zu $x \in U_{i}$

ψ_{i} (x) \in V_{j}

genau dann, wenn $x \in U_{i j}$ ist, da genau in diesem Fall $x$ mit $φ_{i j} (x)$ identifiziert wird. Daher ist $ψ_{i} (U_{i j}) = V_{i} \cap V_{j}$ . Die Kommutativität des Diagramms

\begin{matrix} U_{i j} & \overset{φ_{j i}}{⟶} & U_{j i} \\ ψ_{i} ↘ & ↓ ψ_{j} \\ V_{i} \cap V_{j} \end{matrix}

folgt ebenso.

Zur bewiesenen Aussage