Topologischer Raum/Verklebungsdatum/Existenz/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei die disjunkte Vereinigung der . Wir definieren auf eine Äquivalenzrelation , wobei wir Punkte und als äquivalent ansehen, wenn , und ist. Die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind dabei durch die Kozykelbedingung gesichert, siehe Aufgabe. Wir setzen

und versehen mit der Quotiententopologie. Die Verknüpfungen

sind die , und sind die Bilder dieser Abbildungen. Daher liegen Homöomorphismen vor. Dabei ist zu

genau dann, wenn ist, da genau in diesem Fall mit identifiziert wird. Daher ist . Die Kommutativität des Diagramms

folgt ebenso.

Zur bewiesenen Aussage