Totale Differenzierbarkeit/Gradient/Definition

Gradient

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum,  ${}G\subseteq V$  offen und

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine in  ${}P\in G$  differenzierbare Funktion. Dann nennt man den eindeutig bestimmten Vektor  ${}w\in V$  mit

${}{\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}=\left\langle w,v\right\rangle \,$

für alle  ${}v\in V$  den Gradienten von ${}f$ in ${}P$. Er wird mit

$\operatorname {Grad} \,f(P)$

bezeichnet.