Totale Differenzierbarkeit/Komplex und reell/Beziehung/Aufgabe

Es seien ${}V$ und ${}W$ zwei komplexe Vektorräume, ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge und

$\varphi \colon G\longrightarrow W$

eine in ${}P\in G$ (komplex) differenzierbare Abbildung.

a) Zeige, dass ${}\varphi$ auch reell differenzierbar ist, wenn man ${}V$ und ${}W$ als reelle Vektorräume auffasst.

b) Beschreibe das reelle Differential der Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{2},$

in einem beliebigen Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$ bezüglich der reellen Basis ${}1,i\in {\mathbb {C} }$.

c) Man gebe ein Beispiel für eine Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },$

die überall reell differenzierbar ist, aber nirgendwo

komplex differenzierbar.

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