Totales Differential/K/Kettenregel/(uv,u-v,v^2) und (xyz^2, y exp(xz))/Aufgabe

Wir wollen die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

$\phi :{𝕂}^2⟶{𝕂}^3,(u,v)⟼(uv,u-v,v^2),$

und

$\psi :{𝕂}^3⟶{𝕂}^2,(x,y,z)⟼(xy{z}^2,y\exp (xz)),$

und ihrer Komposition $\psi \circ \phi$ veranschaulichen.

1. Berechne für einen beliebigen Punkt  $P\in {𝕂}^2$  das totale Differential ${\left(D\phi \right)}_P$ mithilfe von partiellen Ableitungen.
2. Berechne für einen beliebigen Punkt  $Q\in {𝕂}^3$  das totale Differential ${\left(D\psi \right)}_Q$ mithilfe von partiellen Ableitungen.
3. Berechne explizit die Komposition $\psi \circ \phi :{𝕂}^2\to {𝕂}^2$.
4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt  $P\in {𝕂}^2$  das totale Differential von $\psi \circ \phi :{𝕂}^2\to {𝕂}^2$.
5. Berechne das totale Differential von $\psi \circ \phi :{𝕂}^2\to {𝕂}^2$ in einem Punkt  $P\in {𝕂}^2$  mithilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).

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