Totales Differential/R/Anwendung der Kettenregel/Komposition mit Multiplikation/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}\mathbb {R}$ -Vektorraum und ${}G\subseteq V$ eine offene Teilmenge. Weiter seien ${}f,g\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ zwei in ${}P\in G$ differenzierbare Funktionen. Wende die Kettenregel und Aufgabe auf das Diagramm

G{\stackrel {f,g}{\longrightarrow }}\mathbb {R} \times \mathbb {R} {\stackrel {\operatorname {mult} }{\longrightarrow }}\mathbb {R}

an, um zu zeigen, dass die Gleichung

{}\left(D(f\cdot g)\right)_{P}=g(P)\cdot \left(Df\right)_{P}+f(P)\cdot \left(Dg\right)_{P}\,

gilt.