Transformationsformel/Integral/Kompakte Teilmenge/Kugelkoordinaten/Fakt

Transformationsformel für Kugelkoordinaten

Für die Kugelkoordinatenauswertung

$\Psi \colon G=\mathbb {R} _{+}\times ]0,\pi [\times ]0,2\pi [\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(r,\theta ,\varphi )\longmapsto \left(r\cos \varphi \sin \theta ,\,r\sin \varphi \sin \theta ,\,r\cos \theta \right),$

eine kompakte Teilmenge ${}T\subseteq \Psi (G)$ und eine stetige Funktion

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

gilt die Beziehung

${}\int _{T}f\,d\lambda ^{3}=\int _{\Psi ^{-1}(T)}(f\circ \Psi )r^{2}\sin \theta \,d\lambda ^{3}\,.$

Dies kann man auch als

$\int \int \int _{T}f(x,y,z)dxdydz=\int \int \int _{\Psi ^{-1}(T)}{\tilde {f}}(r,\theta ,\varphi )\cdot r^{2}\sin \theta drd\theta d\varphi \,$

schreiben, wobei ${}{\tilde {f}}=f\circ \Psi$ bezeichnet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen