Transformationsformel/Integral/Kompakte Teilmenge/Kugelkoordinaten/Fakt

Transformationsformel für Kugelkoordinaten

Für die Kugelkoordinatenauswertung

$\mathrm{\Psi }:G={ℝ}_{+}\times ]0,\pi [\times ]0,2\pi [⟶{ℝ}^3,(r,\theta ,\phi )⟼(r\cos \phi \sin \theta ,r\sin \phi \sin \theta ,r\cos \theta ),$

eine kompakte Teilmenge  $T\subseteq \Psi (G)$  und eine stetige Funktion

$f:T⟶ℝ$

gilt die Beziehung

${\int }_{T}fd{\lambda }^3={\int }_{{\mathrm{\Psi }}^{-1}(T)}(f\circ \mathrm{\Psi })r^2\sin \theta d{\lambda }^3.$

Dies kann man auch als

$\int \int {\int }_{T}f(x,y,z)dxdydz=\int \int {\int }_{{\mathrm{\Psi }}^{-1}(T)}\tilde{f}(r,\theta ,\phi )\cdot r^2\sin \theta drd\theta d\phi$

schreiben, wobei  $\tilde{f}=f\circ \Psi$  bezeichnet.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen