Transformationssatz

Einführung

Der Transformationssatz (auch Transformationsformel) beschreibt in der Analysis das Verhalten von Integralen unter Koordinatentransformationen. Er ist somit die Verallgemeinerung der Integration durch Substitution auf Funktionen höherer Dimensionen. Der Transformationssatz wird als Hilfsmittel bei der Berechnung von Integralen verwendet, wenn sich das Integral nach Überführung in ein anderes Koordinatensystem leichter berechnen lässt.

Formulierung des Satzes

Es sei $\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}$ eine offene Menge und $\Phi \colon \Omega \to \Phi (\Omega )\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ ein Diffeomorphismus. Dann ist die Funktion $f$ auf $\Phi (\Omega )$ genau dann integrierbar, wenn die Funktion $x\mapsto f(\Phi (x))\cdot \left|\det(D\Phi (x))\right|$ auf $\Omega$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt:

\int _{\Phi (\Omega )}f(y)\,\mathrm {d} y=\int _{\Omega }f(\Phi (x))\cdot \left|\det(D\Phi (x))\right|\mathrm {d} x\;.

Dabei ist $D\Phi (x)$ die Jacobi-Matrix und $\det(D\Phi (x))$ die Funktionaldeterminante von $\Phi$ .

Spezialfälle

Wählt man für $f$ die konstante Funktion 1, so stellt die linke Seite der Formel einfach das Volumen bzw. $d$ -dimensionale Lebesgue-Maß der Bildmenge $\Phi (\Omega )$ dar:
$\operatorname {vol} (\Phi (\Omega ))=\int _{\Omega }\left|\det(D\Phi (x))\right|\,\mathrm {d} x\;.$
Ist außerdem die Abbildung $\Phi$ linear oder affin, $\Phi (x)=Ax+b$ , wobei $A$ eine $d\times d$ -Matrix ist und $b\in \mathbb {R} ^{d}$ , so ist $D\Phi (x)=A$ . Somit gilt
$\operatorname {vol} (\Phi (\Omega ))=\left|\det(A)\right|\cdot \operatorname {vol} (\Omega )\;.$

Beispiel - Dichtefunktion der Normalverteilung

Um zu zeigen, dass das Integral über die Dichtefunktion der Normalverteilung normiert ist (siehe Wahrscheinlichkeitsmaß), berechnet man das uneigentliche Integral über die Gauß-Glocke mit der folgenden Dichtefunktion:

{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}{\big (}{\frac {x-\mu }{\sigma }}{\big )}^{2}}

Beweisidee

Man zeigt, dass das Integral $I$ über die obige Dichtefunktion gleich 1 ist, indem man zeigt, dass $I^{2}=1$ . Da das Integral über eine positive Dichtefunktion ebenfalls positiv sein muss, bleibt dann nur die Lösung, dass $I=1$ sein muss.

Lineare Transformation

Um die Parameter in der Dichtefunktion bei der Berechnung zu vereinfachen, genügt es, die folgende Aussage für die Dichte der Standardnormalverteilung zu zeigen:

\left(\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\pi

Die obige Aussage für eine allgemeine Dichte erhält man unmittelbar über die Substitionsregel der Integration.

Eigenschaften - Rotationssymmetrie

Da die Funktion $f(x,y)=\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}=\mathrm {e} ^{-r^{2}}$ rotationssymmetrisch ist, liegt die Berechnung des Integrals in Polarkoordinaten statt kartesischen Koordinaten nahe:

Koordinatentransformation

Um das Integral berechnen zu können, wird eine Koordinatentransformation von dem kartesischen Koordinaten in die Polarkoordinaten durchgeführt. Dafür benötigt man die Funktionaldeterminante oder Determinante der Jacobi-Matrix.

Determinante der Jacobi-Matrix

Es sei $\Omega =\mathbb {R} _{>0}\times (0,2\pi )$ und

\Phi \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{2},\quad (r,\varphi )\mapsto (r\cos \varphi ,r\sin \varphi ).

Dann ist die Funktionaldeterminante

\det D\Phi (r,\varphi )={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )=r.

Anwendung des Transformationssatzes

Das Komplement von $\Phi (\Omega )\subset \mathbb {R} ^{2}$ ist eine Nullmenge, mit $f(x,y)=\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}$ ergibt sich also

\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y

{}=\int _{\Phi (\Omega )}\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y

{}=\int _{\Omega }\mathrm {e} ^{-(r\cos \varphi )^{2}-(r\sin \varphi )^{2}}\cdot \det D\Phi (r,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi

{}=\int _{\Omega }\mathrm {e} ^{-r^{2}}\cdot r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi

{}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }r\mathrm {e} ^{-r^{2}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi

{}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {d} \varphi =\pi .\,

Die Auswertung des inneren Integrals in der vorletzten Zeile kann beispielsweise durch eine Substitution $t=r^{2}$ begründet werden.

Literatur

Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rⁿ und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
Konrad Königsberger: Analysis 2, Springer, Berlin 2004, S. 211

Siehe auch

Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen

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