Ein Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem Tripel
(
Ω
,
S
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}
, wobei
Ω
{\displaystyle \Omega }
die Menge aller möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes (
Ω
=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}}
Würfelwurf)
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
als Mengensystem von Teilmenge von Omega als die Menge alle Ereignisse (z.B.
S
⊆
℘
(
Ω
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \wp (\Omega )}
) und
P
:
S
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle P:{\mathcal {S}}\rightarrow [0,1]}
die Funktion ist, die jeder messbaren Menge
A
∈
S
{\displaystyle A\in {\mathcal {S}}}
eine Wahrscheinlichkeit
P
(
A
)
{\displaystyle P(A)}
zuordnet (z.B.
P
(
A
)
=
1
2
{\displaystyle P(A)={\frac {1}{2}}}
mit
A
:=
{
1
,
3
,
5
}
{\displaystyle A:=\{1,3,5\}}
).
Sei
Ω
≠
∅
{\displaystyle \Omega \not =\emptyset }
. Ein Teilmenge
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
der Potenzmenge
℘
(
Ω
)
{\displaystyle \wp (\Omega )}
heißt
σ
{\displaystyle \sigma }
-Algebra, wenn folgende Bedingungen gelten:
Ω
∈
S
{\displaystyle \Omega \in {\mathcal {S}}}
A
∈
S
⟹
A
c
=
Ω
∖
A
∈
S
{\displaystyle A\in {\mathcal {S}}\Longrightarrow A^{c}=\Omega \setminus A\in {\mathcal {S}}}
A
n
∈
S
{\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {S}}}
für alle
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
, dann gilt
⋃
n
∈
N
A
n
∈
S
{\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {S}}}
Die Strucktur der
σ
{\displaystyle \sigma }
-Algerba ist Grundlage für viele Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes.
Sei
Ω
≠
∅
{\displaystyle \Omega \not =\emptyset }
und
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
eine
σ
{\displaystyle \sigma }
-Algebra über
Ω
{\displaystyle \Omega }
, dann heißt
(
Ω
,
S
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}})}
einen Messraum.
Sei
Ω
≠
∅
{\displaystyle \Omega \not =\emptyset }
und
S
′
⊆
℘
(
Ω
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}'\subseteq \wp (\Omega )}
. Ziel der Aufgabe ist es,
S
′
⊆
℘
(
Ω
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}'\subseteq \wp (\Omega )}
so zu
S
⊆
℘
(
Ω
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \wp (\Omega )}
zu erweitern, dass
(
Ω
,
S
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}})}
ein Messraum ist.
Sei
Ω
:=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
{\displaystyle \Omega :=\{1,2,3,4,5,6\}}
und
S
′
:=
{
Ω
,
{
1
,
2
}
,
{
5
,
6
}
}
{\displaystyle {\mathcal {S}}':=\{\Omega ,\{1,2\},\{5,6\}\}}
. Ergänzen Sie Menge
S
′
{\displaystyle {\mathcal {S}}'}
minimal so zu
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
, dass
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
eine
σ
−
{\displaystyle \sigma -}
Algebra ist.
Die Borelsche
σ
−
{\displaystyle \sigma -}
Algebra von den abgeschlossenen Intervallen
E
:=
{
[
a
,
b
]
|
a
,
b
∈
R
∧
a
<
b
}
{\displaystyle {\mathcal {E}}:=\{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \wedge a<b\}}
erzeugt:
Begründen Sie mit dem Erzeuger der
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
und den Eigenschaften einer
σ
{\displaystyle \sigma }
-Algebra, dass
{
x
}
∈
B
{\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {B}}}
auch alle Einpunktmengen
{
x
}
∈
B
{\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {B}}}
enthält.
Seien
(
Ω
1
,
S
1
)
{\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1})}
und
(
Ω
2
,
S
2
)
{\displaystyle (\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})}
Messräume. Eine Abbildung
X
:
Ω
1
⟶
Ω
2
{\displaystyle X:\Omega _{1}\longrightarrow \Omega _{2}}
heißt
(
S
1
,
S
2
)
{\displaystyle ({\mathcal {S}}_{1},{\mathcal {S}}_{2})}
-messbar, wenn gilt:
∀
B
∈
S
2
:
X
−
1
(
B
)
∈
S
1
{\displaystyle \forall _{B\in {\mathcal {S}}_{2}}\ :\ X^{-1}(B)\in {\mathcal {S}}_{1}}
Über eine messbare Abbildung
X
:
Ω
1
⟶
Ω
2
{\displaystyle X:\Omega _{1}\longrightarrow \Omega _{2}}
kann man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
P
X
{\displaystyle P_{X}}
von dem Messraum
(
Ω
1
,
S
1
)
{\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1})}
auf
(
Ω
2
,
S
2
)
{\displaystyle (\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})}
induzieren. Es gilt
P
X
(
B
)
:=
P
(
X
−
1
(
B
)
)
{\displaystyle P_{X}(B):=P(X^{-1}(B))}
für alle
B
∈
S
2
{\displaystyle B\in {\mathcal {S}}_{2}}
.
Seien
(
Ω
1
,
S
1
)
{\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1})}
und
(
Ω
2
,
S
2
)
{\displaystyle (\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})}
als Messräume wie folgt definiert:
Ω
1
:=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
2
{\displaystyle \Omega _{1}:=\{1,2,3,4,5,6\}^{2}}
zweimaliges Würfeln mit
S
1
:=
℘
(
Ω
1
)
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}:=\wp (\Omega _{1})}
(Potenzmenge von
Ω
1
{\displaystyle \Omega _{1}}
).
Ω
2
:=
R
{\displaystyle \Omega _{2}:=\mathbb {R} }
mit
S
2
:=
B
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{2}:={\mathcal {B}}}
(Borelsche
σ
{\displaystyle \sigma }
-Algebra ).
X
(
w
1
,
w
2
)
:=
w
1
+
w
2
{\displaystyle X(w_{1},w_{2}):=w_{1}+w_{2}}
für alle
(
w
1
,
w
2
)
∈
Ω
1
:=
{
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
}
2
{\displaystyle (w_{1},w_{2})\in \Omega _{1}:=\{1,2,3,4,5,6\}^{2}}
Bestimmen Sie mit
X
:
Ω
1
⟶
Ω
2
{\displaystyle X:\Omega _{1}\longrightarrow \Omega _{2}}
die Menge
B
:=
{
1
,
4
}
⊂
Ω
2
{\displaystyle B:=\{1,\,4\}\subset \Omega _{2}}
die Menge
X
−
1
(
B
)
=
X
−
1
(
{
1
,
4
}
)
⊆
Ω
1
{\displaystyle X^{-1}(B)=X^{-1}(\{1,\,4\})\subseteq \Omega _{1}}
!
Defintion - Wahrscheinlichkeitsverteilung [ Bearbeiten ]
Sei
(
Ω
,
S
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}})}
ein Messraum und eine Abbildung
P
:
S
⟶
R
{\displaystyle P:{\mathcal {S}}\longrightarrow \mathbb {R} }
gegeben, die folgende Eigenschaften besitzt:
(Nichtnegativität)
P
(
A
)
≥
0
{\displaystyle P(A)\geq 0}
für alle
A
∈
S
{\displaystyle A\in {\mathcal {S}}}
(Normiertheit)
P
(
Ω
)
=
1
{\displaystyle P(\Omega )=1}
(
σ
{\displaystyle \sigma }
-Additivität)
A
n
∈
S
{\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {S}}}
für alle
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
und paarweise disjunkt folgt:
P
(
⋃
n
∈
N
A
n
)
=
∑
n
∈
N
P
(
A
n
)
{\displaystyle P\left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }P\left(A_{n}\right)}
.
P
{\displaystyle P}
nennt man dann Wahrscheinlichkeitsmaß bzw. Wahrscheinlichkeitsverteilung auf
(
Ω
,
S
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}})}
und
(
Ω
,
S
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}
bezeichnet man als Wahrscheinlichkeitsraum .
Weitere Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes[ Bearbeiten ]
0
≤
P
(
A
)
≤
1
{\displaystyle 0\leq P(A)\leq 1}
P
(
∅
)
=
0
{\displaystyle P(\emptyset )=0}
P
(
Ω
∖
A
)
=
1
−
P
(
A
)
{\displaystyle P(\Omega \setminus A)=1-P(A)}
P
(
A
∖
B
)
=
P
(
A
)
−
P
(
B
)
{\displaystyle P(A\setminus B)=P(A)-P(B)}
falls
B
⊆
A
{\displaystyle B\subseteq A}
P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
{\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}
Gilt
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
, so folgt
P
(
A
)
≤
P
(
B
)
{\displaystyle P(A)\leq P(B)}
.
Vergleichen Sie die Eigenschaften der
σ
{\displaystyle \sigma }
-Algerba mit den erweitereten Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes. Welche Parallelen stellen Sie fest.
Sei
(
Ω
1
,
S
1
,
P
1
)
{\displaystyle (\Omega _{1},{\mathcal {S}}_{1},P_{1})}
ein Wahrscheinlichkeitsraum und
(
Ω
2
,
S
2
)
=
(
R
,
B
)
{\displaystyle (\Omega _{2},{\mathcal {S}}_{2})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})}
die Borelsche
σ
{\displaystyle \sigma }
-Algebra , dann nennt man die
(
S
1
,
B
)
{\displaystyle ({\mathcal {S}}_{1},{\mathcal {B}})}
-messbare Abbildung
X
:
Ω
1
→
R
{\displaystyle X:\Omega _{1}\to \mathbb {R} }
eine (eindimensionale) Zufallsgröße.
Bemerkung: Die Messbarkeit von
X
{\displaystyle X}
sorgt dafür, dass
P
{\displaystyle P}
auf der Menge
X
−
1
(
B
)
∈
S
1
{\displaystyle X^{-1}(B)\in {\mathcal {S}}_{1}}
definiert ist.
Induzierte reellwertige Wahrscheinlichkeitsverteilung [ Bearbeiten ]
Sei
(
Ω
,
S
,
P
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}},P)}
ein Zufallsexperiment und
X
:
Ω
→
R
{\displaystyle X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }
eine Zufallsgröße auf dem Messraum
(
Ω
,
S
)
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {S}})}
. Die induzierte Wahrscheinlichkeitsverteilung
P
X
{\displaystyle P_{X}}
ist dann mit
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
als Borelsche
σ
{\displaystyle \sigma }
-Algebra wie folgt definiert:
P
X
:
B
→
[
0
,
1
]
{\displaystyle P_{X}:{\mathcal {B}}\rightarrow [0,1]}
mit
B
↦
P
X
(
B
)
:=
P
(
X
−
1
(
B
)
⏟
∈
S
)
{\displaystyle B\mapsto P_{X}(B):=P(\underbrace {X^{-1}(B)} _{\in \,{\mathcal {S}}})}
(
R
,
B
,
P
X
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}},P_{X})}
nennt man eine induzierte W-Verteilung der Zufallsgröße
X
:
Ω
→
R
{\displaystyle X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }
Der Foliensatz wurde für den Kurs:Stochastik mit Wiki2Reveal über den Linkgenerator erstellt.