Translationsinvariantes Maß/Echte Unterräume haben Maß 0/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

 Es sei ${}U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein Untervektorraum der Dimension ${}d<n$ und nehmen wir an, dass ${}\mu (U)>0$ ist. Es sei ${}u_{1},\ldots ,u_{d}$ eine Basis von ${}U$ und

${}P={\left\{a_{1}u_{1}+\cdots +a_{d}u_{d}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$

das davon erzeugte ${}d$-dimensionale Parallelotop. Dies lässt sich durch endlich viele verschobene Einheitswürfel überpflastern und besitzt demnach ein endliches Maß. Die verschobenen Parallelotope

$P_{k}=P+k_{1}u_{1}+\cdots +k_{d}u_{d},\,k=(k_{1},\ldots ,k_{d})\in \mathbb {Z} ^{d}$

besitzen wegen der Translationsinvarianz alle dasselbe Maß und bilden eine Überpflasterung von ${}U$. Da es abzählbar viele sind, muss ${}\mu (P)>0$ gelten. Es sei nun ${}u_{d+1},\ldots ,u_{n}$ eine Ergänzung der Basis zu einer Basis von ${}V$, und sei

${}R={\left\{a_{1}u_{1}+\cdots +a_{d}u_{d}+\cdots +a_{n}u_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,$

das zugehörige ${}n$-dimensionale Parallelotop. Für dieses ist

${}\mu (R)<\infty \,.$

Wir betrachten nun die abzählbar unendlich vielen Parallelotope

$P_{q}=P+qu_{n}{\text{ mit }}q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} .$

Diese liegen alle innerhalb von ${}R$ und besitzen wegen der Translationsinvarianz alle das gleiche Maß wie ${}P$. Ferner sind sie paarweise disjunkt, da andernfalls ein nichttriviales Vielfaches von ${}u_{n}$ zu ${}U$ gehören würde. Aus

${}\sum _{q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} }\ \mu (P_{q})=\mu {\left(\bigcup _{q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} }P_{q}\right)}\leq \mu (R)\,$

folgt

${}\mu (R)=\infty$, ein Widerspruch.

Zur gelösten Aufgabe