Translationsinvariantes Maß/Echte Unterräume haben Maß 0/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

 Es sei  $U\subset {ℝ}^n$  ein Untervektorraum der Dimension  $d<n$  und nehmen wir an, dass  $\mu (U)>0$  ist. Es sei $u_1,\dots ,u_d$ eine Basis von $U$ und

$P=\{a_1{u}_1+\cdots +a_d{u}_d\mid a_i\in [0,1]\}$

das davon erzeugte $d$-dimensionale Parallelotop. Dies lässt sich durch endlich viele verschobene Einheitswürfel überpflastern und besitzt demnach ein endliches Maß. Die verschobenen Parallelotope

$P_k=P+k_1{u}_1+\cdots +k_d{u}_d,k=(k_1,\dots ,k_d)\in {\mathbb{Z}}^d$

besitzen wegen der Translationsinvarianz alle dasselbe Maß und bilden eine Überpflasterung von $U$. Da es abzählbar viele sind, muss  $\mu (P)>0$  gelten. Es sei nun $u_{d+1},\dots ,u_n$ eine Ergänzung der Basis zu einer Basis von $V$, und sei

$R=\{a_1{u}_1+\cdots +a_d{u}_d+\cdots +a_n{u}_n\mid a_i\in [0,1]\}$

das zugehörige $n$-dimensionale Parallelotop. Für dieses ist

$\mu (R)<\mathrm{\infty }.$

Wir betrachten nun die abzählbar unendlich vielen Parallelotope

$P_q=P+q{u}_n\text{ mit }q\in [0,1]\cap \mathbb{Q}.$

Diese liegen alle innerhalb von $R$ und besitzen wegen der Translationsinvarianz alle das gleiche Maß wie $P$. Ferner sind sie paarweise disjunkt, da andernfalls ein nichttriviales Vielfaches von $u_n$ zu $U$ gehören würde. Aus

$\sum _{q\in [0,1]\cap \mathbb{Q}}\mu (P_q)=\mu \left(\bigcup _{q\in [0,1]\cap \mathbb{Q}}{P}_q\right)\le \mu (R)$

folgt

 $\mu (R)=\mathrm{\infty }$,  ein Widerspruch.

Zur gelösten Aufgabe