Translationsinvariantes Maß/Proportional zum Borel-Lebesgue-Maß/Festlegung auf beliebiger Teilmenge/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei , wobei der Einheitswürfel im sei. Wenn ist, so liegt das Nullmaß vor, da sich der mit abzählbar vielen verschobenen Einheitswürfeln überdecken lässt, die wegen der Translationsinvarianz ebenfalls das Maß haben. Dann hat der Gesamtraum das Maß und damit hat jede messbare Teilmenge das Maß . Sei also . In diesem Fall betrachten wir das durch

definierte (umskalierte) Maß. Dieses ist nach wie vor translationsinvariant und besitzt auf dem Einheitswürfel den Wert . Nach Fakt ist also und somit ist .