Translationsinvariantes Maß/Proportional zum Borel-Lebesgue-Maß/Festlegung auf beliebiger Teilmenge/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}c=\nu (E)$, wobei ${}E$ der Einheitswürfel im ${}\mathbb {R} ^{n}$ sei. Wenn ${}c=0$ ist, so liegt das Nullmaß vor, da sich der ${}\mathbb {R} ^{n}$ mit abzählbar vielen verschobenen Einheitswürfeln überdecken lässt, die wegen der Translationsinvarianz ebenfalls das Maß ${}0$ haben. Dann hat der Gesamtraum das Maß ${}0$ und damit hat jede messbare Teilmenge das Maß ${}0$. Es sei also ${}c\neq 0$. In diesem Fall betrachten wir das durch

${}\mu (T):={\frac {1}{c}}\nu (T)\,$

definierte (umskalierte) Maß. Dieses ist nach wie vor translationsinvariant und besitzt auf dem Einheitswürfel den Wert ${}1$. Nach Fakt ist also ${}\mu =\lambda ^{n}$ und somit ist ${}\nu =c\lambda ^{n}$.

Zur bewiesenen Aussage