Tupel/Produktmatrix/Rang/Eigenwert/Aufgabe/Lösung

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a) Es ist

Daher besitzt die durch gegebene lineare Abbildung eine Faktorisierung der Form

Daher ist das Bild von maximal eindimensional und der Rang der Matrix ist höchstens . Da nicht alle gleich sind, ist nicht die Nullmatrix und daher ist der Rang genau .

b) Es ist

Da nicht alle gleich sind, ist dieser Vektor ein Eigenvektor zum Eigenwert .

c) Die Matrix besitzt aufgrund der Rangeigenschaft einen -dimensionalen Kern. Ferner gibt es einen weiteren Eigenvektor zu einem von verschiedenen Eigenwert (da wir in sind und eine Summe von Quadraten betrachten). Daher ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume gleich und somit liegt nach Fakt eine diagonalisierbare Abbildung vor.

d) Es sei und . Die in Frage stehende Matrix ist dann

Das charakteristische Polynom davon ist

Daher ist der einzige Eigenwert. Der Kern ist aber eindimensional, daher ist die Matrix nicht diagonalisierbar.