Tupel/Produktmatrix/Rang/Eigenwert/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

{}M={\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}\left(c_{1},\,\ldots ,\,c_{n}\right)\,.

Daher besitzt die durch ${}M$ gegebene lineare Abbildung eine Faktorisierung der Form

K^{n}\longrightarrow K\longrightarrow K^{n}.

Daher ist das Bild von ${}M$ maximal eindimensional und der Rang der Matrix ist höchstens ${}1$ . Da nicht alle ${}c_{j}$ gleich ${}0$ sind, ist ${}M$ nicht die Nullmatrix und daher ist der Rang genau ${}1$ .

b) Es ist

{}{\begin{aligned}M{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}c_{1}c_{j}c_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}c_{n}c_{j}c_{j}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}c_{j}^{2}c_{1}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}c_{j}^{2}c_{n}\end{pmatrix}}\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}c_{j}^{2}\right)}{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Da nicht alle ${}c_{j}$ gleich ${}0$ sind, ist dieser Vektor ein Eigenvektor zum Eigenwert ${}\sum _{j=1}^{n}c_{j}^{2}$ .

c) Die Matrix ${}M$ besitzt aufgrund der Rangeigenschaft einen ${}(n-1)$ -dimensionalen Kern. Ferner gibt es einen weiteren Eigenvektor zu einem von ${}0$ verschiedenen Eigenwert (da wir in ${}\mathbb {R}$ sind und eine Summe von Quadraten betrachten). Daher ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume gleich ${}n$ und somit liegt nach Fakt eine diagonalisierbare Abbildung vor.