a) Es ist
-

Daher besitzt die durch
gegebene lineare Abbildung eine Faktorisierung der Form
-
Daher ist das Bild von
maximal eindimensional und der Rang der Matrix ist höchstens
. Da nicht alle
gleich
sind, ist
nicht die Nullmatrix und daher ist der Rang genau
.
b) Es ist

Da nicht alle
gleich
sind, ist dieser Vektor ein Eigenvektor zum Eigenwert
.
c) Die Matrix
besitzt aufgrund der Rangeigenschaft einen
-dimensionalen
Kern.
Ferner gibt es einen weiteren Eigenvektor zu einem von
verschiedenen Eigenwert
(da wir in
sind und eine Summe von Quadraten betrachten).
Daher ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume gleich
und somit liegt nach
Fakt
eine diagonalisierbare Abbildung vor.
d) Es sei
und
.
Die in Frage stehende Matrix ist dann
-

Das charakteristische Polynom davon ist
-

Daher ist

der einzige Eigenwert. Der Kern ist aber eindimensional, daher ist die Matrix nicht diagonalisierbar.