Unterring/Ideal/Runterschneiden/Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein Unterring. Bestätige oder widerlege die folgenden Aussagen.

1. Zu einem Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ist auch ${}{\mathfrak {a}}\cap S$ ein Ideal (in ${}S$).
2. Zu einem Radikal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ist auch ${}{\mathfrak {a}}\cap S$ ein Radikal.
3. Zu einem Primideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ist auch ${}{\mathfrak {a}}\cap S$ ein Primideal.
4. Zu einem maximalen Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ ist auch ${}{\mathfrak {a}}\cap S$ ein maximales Ideal.

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