Untervektorraum/Summe und Durchschnitt/Dimensionsvergleich/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $w_{1}, \dots, w_{k}$ eine Basis von $U_{1} \cap U_{2}$ . Diese ergänzen wir gemäß Fakt einerseits zu einer Basis $w_{1}, \dots, w_{k}, u_{1}, \dots, u_{n}$ von $U_{1}$ und andererseits zu einer Basis $w_{1}, \dots, w_{k}, v_{1}, \dots, v_{m}$ von $U_{2}$ . Dann ist

w_{1}, \dots, w_{k}, u_{1}, \dots, u_{n}, v_{1}, \dots, v_{m}

ein Erzeugendensystem von $U_{1} + U_{2}$ . Wir behaupten, dass es sich sogar um eine Basis handelt. Es sei dazu

a_{1} w_{1} + \dots + a_{k} w_{k} + b_{1} u_{1} + \dots + b_{n} u_{n} + c_{1} v_{1} + \dots + c_{m} v_{m} = 0 .

Daraus ergibt sich, dass das Element

a_{1} w_{1} + \dots + a_{k} w_{k} + b_{1} u_{1} + \dots + b_{n} u_{n} = - c_{1} v_{1} - \dots - c_{m} v_{m}

zu $U_{1} \cap U_{2}$ gehört. Daraus folgt direkt $b_{i} = 0$ für $i = 1, \dots, n$ und $c_{j} = 0$ für $j = 1, \dots, m$ . Somit ergibt sich dann auch $a_{ℓ} = 0$ für alle $ℓ$ . Also liegt lineare Unabhängigkeit vor. Insgesamt ist also

\begin{matrix} \dim_{K} (U_{1} \cap U_{2}) + \dim_{K} (U_{1} + U_{2}) & = k + k + n + m \\ = k + n + k + m \\ = \dim_{K} (U_{1}) + \dim_{K} (U_{2}) . \end{matrix}

Zur bewiesenen Aussage