Varietät/Glatter Punkt/Schnittverhalten/Dimension/Fakt/Beweis

Beweis

Wir betrachten die Diagonaleinbettung

$V⟶V\times V,Q⟼(Q,Q),$

das Bild sei mit $\Delta$ bezeichnet. Es liegt dadurch nach Fakt ein Isomorphismus (insbesondere ein Homöomorphismus)  $V\cong \Delta$  von Varietäten vor. Unter diesem Isomorphismus entsprechen sich die Mengen $Y\cap Z$ und $\Delta \cap (Y\times Z)$, wobei rechts das Produkt $Y\times Z$ in natürlicher Weise als abgeschlossene Untervarietät von $V\times V$ aufgefasst wird. Damit entsprechen sich auch die Komponenten des Schnittes $Y\cap Z$ im Punkt $P$ und die Komponenten des Schnittes $\Delta \cap (Y\times Z)$ im Punkt $(P,P)$. Nach Fakt besitzt $Y\times Z$ die Dimension $r+s$. Nach Fakt wird $\Delta$ im Punkt $(P,P)$ lokal durch $n$ Funktionen beschrieben. Nach Fakt ist daher

${\dim }_{(P,P)}(\Delta \cap Y\times Z)\ge r+s-n.$

Zur bewiesenen Aussage