Vektorfeld/Lineare Transformation/(tu+t^3,v^2)/4 3 -3 -2/Beispiel

F (t, x, y) = (t x + t^{3}, y^{2}) .

Dieses System ist entkoppelt und besteht aus den beiden einzelnen Gleichungen (in jeweils einer Raumvariablen)

x^{'} = t x + t^{3} und y^{'} = y^{2} .

Eine Lösung der linken Differentialgleichung ist $x (t) = - t^{2} - 2$ , eine Lösung der rechten ist $y (t) = - t^{- 1}$ . Daher ist

(\begin{matrix} - t^{2} - 2 \\ - t^{- 1} \end{matrix})

eine Lösung zu $F$ . Wir betrachten nun die lineare Transformation

φ = (\begin{matrix} 4 & 3 \\ - 3 & - 2 \end{matrix})

mit der inversen Matrix

φ^{- 1} = (\begin{matrix} - 2 & - 3 \\ 3 & 4 \end{matrix}) .

Das transformierte Vektorfeld ist

\begin{matrix} G (t, u, v) & = φ (F (t, φ^{- 1} (u, v))) \\ = φ (F (t, - 2 u - 3 v, 3 u + 4 v)) \\ = φ (t (- 2 u - 3 v) + t^{3}, (3 u + 4 v)^{2}) \\ = φ (t (- 2 u - 3 v) + t^{3}, 9 u^{2} + 24 u v + 16 v^{2}) \\ = (4 (t (- 2 u - 3 v) + t^{3}) + 3 (9 u^{2} + 24 u v + 16 v^{2}), - 3 (t (- 2 u - 3 v) + t^{3}) - 2 (9 u^{2} + 24 u v + 16 v^{2})) \\ = (- 8 t u - 12 t v + 4 t^{3} + 27 u^{2} + 72 u v + 48 v^{2}, 6 t u + 9 t v - 3 t^{3} - 18 u^{2} - 48 u v - 32 v^{2}) . \end{matrix}

Für die zu $G$ gehörende Differentialgleichung

(\begin{matrix} u^{'} \\ v^{'} \end{matrix}) = G (t, u, v)

ist gemäß Fakt

φ ((\begin{matrix} - t^{2} - 2 \\ - t^{- 1} \end{matrix})) = (\begin{matrix} - 4 t^{2} - 8 - 3 t^{- 1} \\ 3 t^{2} + 6 + 2 t^{- 1} \end{matrix})

eine Lösung.